Mercator-sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában a Mercator-sor – más néven Newton–Mercator-sor – a természetes logaritmus Taylor-sora:[1]

Összegzéses (szummázás) jelöléssel:

A sorozat a természetes logaritmushoz (1-gyel eltolva) konvergál, ha –1 < x ≤ 1.

Történet[szerkesztés]

Ezt a sort egymástól függetlenül fedezte fel Nicholas Mercator, Isaac Newton, és Gregory Saint-Vincent. Mercator publikálta először, 1668-ban, a ‘Logarithmo-technica’ című tanulmányában, ezért róla nevezték el a sort.

Deriválás[szerkesztés]

A sor a Taylor-elméletből származtatható, induktívan az lnx függvény n-edik deriválásából, x=1 –nél, melynek kezdete:

vagy kezdődhet egy véges mértani sorozattal ((t ≠ –1):


melyből:


ezt követi:

és tagonkénti integrálással

ha –1 < x ≤ 1, és a maradék tag tarta 0-hoz, míg . Ez a kifejezés iteratív módon is integrálható k-szor:

ahol

és

melyek x polinomjai

Speciális esetek[szerkesztés]

x=1 esetén a Mercator-sor egy harmonikus sor:

Komplex sorozat[szerkesztés]

A komplex hatvány sorozat ln(1 + z) Taylor-sora, ahol ln a komplex logaritmus egy ágára utal. Ez egy konvergáló sorozat egy nyílt tartományon belül , és a jellemzőjű körön, kivéve a (Abel-teszt miatt), és a konvergencia egyenletes minden zárt körön, ahol a sugár szigorúan kisebb mint 1.

Irodalom[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]