Matematikai közepek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: Természetesen létezik k-adik hatványközép, azaz bárhányadik hatványú közép. A számtani, harmonikus, és négyzetes közép is felfogható hatványközépként, rendre első, mínusz egyedik, és második.

A harmonikus közép[szerkesztés]

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában betűvel jelöljük.

A mértani közép[szerkesztés]

Mértani vagy geometriai középértéken szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában -vel vagy -mel jelöljük.

A számtani közép[szerkesztés]

Számtani vagy aritmetikai középértéken darab szám átlagát, azaz a számok összegének -ed részét értjük. A számtani közepet általában betűvel jelöljük:

A négyzetes közép[szerkesztés]

Négyzetes középértéken darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában: .

A közepek közötti összefüggések[szerkesztés]

ahol

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)[szerkesztés]

A közepek "mértékei" megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani közép[szerkesztés]

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú. Trapéz Számtani.jpg
Az ábrán:

Bizonyítás[szerkesztés]


Trapéz Számtani2.jpg
Az ábrán a trapéz tulajdonságai miatt. szakasz középvonal háromszögben, ezért hossza: , ugyanezért . Tehát hossza:

Harmonikus közép[szerkesztés]

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú. Trapéz Harmonikus.jpg
Az ábrán:

Bizonyítás[szerkesztés]


Trapéz Harmonikus2.jpg
Az ábrán hasonló -hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát: , akkor . Az háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét: . Innen: . Ezt -vel is elvégezve adódik: .

Négyzetes közép[szerkesztés]

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú. Trapéz Négyzetes.jpg
Az ábrán:

Bizonyítás[szerkesztés]


Trapéz Négyzetes2.jpg
Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát és háromszögekben az alapok aránya: . A területek aránya:

Vagyis:

Innen:

Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:

Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:





Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza: .

Mértani közép[szerkesztés]

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú. Trapéz Mértani.jpg
Az ábrán:

Bizonyítás[szerkesztés]


Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha , akkor .

Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya . A magasságok aránya: . (x helyébe beírtuk a -t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a területek aránya: (az előző bizonyításból). Vagyis helyébe beírva -t: Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza .

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)[szerkesztés]

Közepek.jpg
Az ábra magyarázata: felezőpontja , ami az átmérőjű kör középpontja. az -ba állított merőleges és a kör metszéspontja. a kör érintője, ahol az érintési pont. -ből a egyenesre állított merőleges talppontja .
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha szakasz hossza , illetve szakaszé , akkor szakasz hossza és harmonikus közepe, szakasz hossza és mértani közepe, szakasz és számtani közepe és és négyzetes közepe.





Bizonyítás[szerkesztés]

  • -ről könnyen belátható, hogy hosszú, hisz a pont körre vonatkoztatott hatványa alapján . Innen .
  • hosszát kiszámíthatjuk az és összegeként.
  • hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével. , vagyis
  • már kicsit bonyolultabb. A háromszögből szintén Pitagorasz-tétellel kiszámítható. Ehhez meg kell mondani -t. pedig -ben magasságvonal. oldalait ismerjük, tehát igaz, hogy (könnyen belátható tétel, mely minden derékszögű háromszögben igaz) Innen . Ezt beírva a képletbe: . Tehát .

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]