Matematikai közepek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq M(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})} Természetesen létezik k-adik hatványközép, azaz bárhányadik hatványú közép. A számtani, harmonikus, és négyzetes közép is felfogható hatványközépként, rendre első, mínusz egyedik, és második.

A harmonikus közép[szerkesztés]

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában betűvel jelöljük.

A mértani közép[szerkesztés]

Mértani vagy geometriai középértéken szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában -vel vagy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle \,M} -mel jelöljük.

A számtani közép[szerkesztés]

Számtani vagy aritmetikai középértéken Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle \,n} darab szám átlagát, azaz a számok összegének -ed részét értjük. A számtani közepet általában betűvel jelöljük:

A négyzetes közép[szerkesztés]

Négyzetes középértéken darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában: .

A közepek közötti összefüggések[szerkesztés]

ahol

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)[szerkesztés]

A közepek "mértékei" megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani közép[szerkesztés]

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú. Trapéz Számtani.jpg
Az ábrán:

Bizonyítás[szerkesztés]


Trapéz Számtani2.jpg
Az ábrán a trapéz tulajdonságai miatt. Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle F_1I} szakasz középvonal háromszögben, ezért hossza: Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle p \over 2} , ugyanezért . Tehát hossza:

Harmonikus közép[szerkesztés]

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú. Trapéz Harmonikus.jpg
Az ábrán:

Bizonyítás[szerkesztés]


Trapéz Harmonikus2.jpg
Az ábrán Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle ABT} hasonló -hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát: , akkor . Az háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét: . Innen: . Ezt Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): ABC -vel is elvégezve adódik: .

Négyzetes közép[szerkesztés]

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú. Trapéz Négyzetes.jpg
Az ábrán: Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}

Bizonyítás[szerkesztés]


Trapéz Négyzetes2.jpg
Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát és háromszögekben az alapok aránya: . A területek aránya:
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle {({{c - a} \over {x - a}})^2} = {{(c - a)(m_1 + m_2)} \over {(x - a)m_1}}}
Vagyis:

Innen:
Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle {m_{2} \over m_{1}}={{c-a} \over {x-a}}-1={{c-a} \over {x-a}}-{{x-a} \over {x-a}}={{c-x} \over {x-a}}}
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:

Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:




Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle {x = {\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}}}}
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza: Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle {x = {\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}}}} .

Mértani közép[szerkesztés]

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú. Trapéz Mértani.jpg
Az ábrán:

Bizonyítás[szerkesztés]


Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha , akkor .

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle {a \over x} = {x \over c} = \sqrt{a \over c}} Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle {\sqrt {ac}}} . A magasságok aránya: Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle {m_1 \over m_2} = {{x-a} \over {c-x}} = \sqrt{a \over c}} . (x helyébe beírtuk a -t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a területek aránya: (az előző bizonyításból). Vagyis helyébe beírva Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle ac} -t: Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt{ac}} .

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)[szerkesztés]

Közepek.jpg
Az ábra magyarázata: felezőpontja , ami az átmérőjű kör középpontja. az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): O -ba állított merőleges és a kör metszéspontja. Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): BE a kör érintője, ahol az érintési pont. Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): E -ből a egyenesre állított merőleges talppontja .
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha szakasz hossza Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): a , illetve Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle BC} szakaszé , akkor Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle BT} szakasz hossza és harmonikus közepe, szakasz hossza Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): a és mértani közepe, szakasz és számtani közepe és és négyzetes közepe.





Bizonyítás[szerkesztés]

  • Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): BE -ről könnyen belátható, hogy hosszú, hisz a pont körre vonatkoztatott hatványa alapján Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle a\cdot b=BE\cdot BE} . Innen Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle BE={\sqrt {ab}}} .
  • Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle OB} hosszát kiszámíthatjuk az Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle OC} és Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle CB} összegeként.
  • Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): BD hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle OBD} háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével. , vagyis Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle DB = \sqrt{OD^2 + OB^2} = \sqrt{({{a+b} \over 2})^2+({{a-b} \over 2})^2} = \sqrt{{a^2+b^2} \over 2}}
  • Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle BT} már kicsit bonyolultabb. A háromszögből szintén Pitagorasz-tétellel kiszámítható. Ehhez meg kell mondani -t. pedig -ben magasságvonal. oldalait ismerjük, tehát igaz, hogy (könnyen belátható tétel, mely minden derékszögű háromszögben igaz) Innen . Ezt beírva a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle BT^2 = EB^2 - ET^2} képletbe: . Tehát .

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]