Mértani-harmonikus közép

A matematikában két pozitív szám, x és y mértani-harmonikus közepe így definiálható: Legyen g₁ a két szám mértani közepe, és harmonikus közepük h₁. Ezek kiszámíthatók egymás után vagy párhuzamosan.

A kapott két számmal megismételve a műveletet kapjuk a g₂ és a h₂ számokat. Iterálva az eljárást kapjuk a (g_n) és (h_n) sorozatokat:

$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}$

és

$h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{g_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}$

Ez a két sorozat ugyanahhoz a határértékhez tart, ami a kiindulási két szám mértani-harmonikus közepe. Nevezik harmonikus-mértani középnek is.

Tulajdonságok

A mértani-harmonikus közép, M(x, y) x és y mértani és harmonikus közepe közé esik. M(x, y) homogén is, azaz har > 0, akkor (rx, ry) = r M(x, y).

Ha AG(x, y) a számtani-mértani közép, akkor

$M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}$

Egyenlőtlenség

A pitagoraszi közepek és az iterált pitagoraszi közepek között az alábbi egyenlőtlenségek teljesülnek:

$\min(x,y)\leq H(x,y)\leq HG(x,y)\leq G(x,y)\leq GA(x,y)\leq A(x,y)\leq \max(x,y)$

ahol

• H(x, y) a harmonikus közép,
• HG(x, y) a harmonikus–mértani közép,
• G(x, y) = HA(x, y) a mértani közép, ami egyenlő a harmonikus-számtani középpel
• GA(x, y) a mértani-számtani közép,
• A(x, y) a számtani közép.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Geometric–harmonic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.