Lovász-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Lovász-sejtés a matematika, konkrétabban a gráfelmélet egyik nyitott kérdése. Így szól:

Minden véges, összefüggő csúcstranzitív gráfban létezik Hamilton-út.

Lovász László eredetileg az állítást fordítva fogalmazta meg 1970-es cikkében, de a sejtés mégis a fenti megfogalmazásban terjedt el. Babai László 1996-ban publikált egy sejtést, ami erősen ellentmond a Lovász-sejtésnek, viszont egyelőre még mindkettő bizonyítatlan. Még az sem bizonyított, hogy egyetlen ellenpélda létezése ellenpéldák sokaságához vezetne-e.

Variációk[szerkesztés]

Hamilton-kör biztosan nem létezik minden véges, összefüggő, csúcstranzitív gráfban. Öt ellenpélda ismert, nevezetesen a Petersen-gráf, a K2 teljes gráf, a Coxeter-gráf és két további gráf. Ezért a Hamilton-körös változat csak gyengítve fogalmazható meg:[1]

Az öt ismert kivételen kívül minden véges, összefüggő csúcstranzitív gráfban létezik Hamilton-kör.

Az öt ismert ellenpélda közül egyik sem Cayley-gráf, ami szintén motivál egy változatot:

Minden véges, összefüggő Cayley-gráf tartalmaz Hamilton-kört.

Ezeknek a változatoknak sincs általános, ismert bizonyítása.

A Cayley-gráfos változat kezelhető csoportelméleti módszerekkel és vannak is ismert eredmények speciális a csoportok és generátorhalmazok esetében. Abel-csoportok és p-csoportok Cayley-gráfjaira például teljesül, de diédercsoportokra még mindig nincs eredmény.

Az szimmetrikus csoport esetén a sejtés teljesül ezekre a generátorhalmazokra:

  • (hosszú ciklus és egy transzpozíció)
  • Coxeter-generátorok)
  • a halmaz címkézett fáinak megfelelő transzpozíciók halmaza

Az irányított Cayley-gráfok esetén a sejtésre R.A. Rankin több ellenpéldát is adott.

Speciális esetek[szerkesztés]

Abel-csoportok esetében az állítás elég egyszerűen belátható. Általános véges csoportokra csak néhány speciális generátorhalmaz esetében van bizonyítás:

  • (Rankin-generátorok)
  • (Rapaport-Strasser-generátorok)
  • (Pak-Radoičić-generátorok)
  • ahol (lásd: Glover-Marušič theorem)

Ismert továbbá az a tény, hogy minden véges csoporthoz létezik legfeljebb elemű generátorhalmaz úgy, hogy a hozzá tartozó Cayley-gráf tartalmaz Hamilton-kört (Pak-Radoičić). Ez az eredmény a véges egyszerű csoportok osztályozásán alapul.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Royle, G. "Cubic Symmetric Graphs (The Foster Census)."

Irodalom[szerkesztés]