Liouville-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az L(n) Liouville-függvény összegzési függvényen = 104-ig. A jól látható oszcilláció a Riemann-féle zéta-függvény első nem triviális gyökére utal
Az L(n) Liouville-függvény összegzési függvénye n = 107-ig. Az oszcillációk skálainvariánsak

A számelméletben a Liouville-függvény egy fontos számelméleti függvény, amit Joseph Liouville-ről neveztek el. Ha n pozitív egész, akkor λ(n) definíciója:

ahol a nagy omega függvény n prímosztóinak száma multiplicitással számolva.(A008836 sorozat az OEIS-ben).

λ teljesen multiplikatív, mivel Ω(n) teljesen additív, vagyis Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b). Az egynek nincsenek prímosztói, ezért Ω(1) = 0, így λ(1) = 1. A Liouville-függvény eleget tesz a következő azonosságnak:

A Liouville-függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény abszolútértéke.

Sorok[szerkesztés]

A Liouville-függvény Dirichlet-sora kapcsolódik a Riemann-féle zéta-függvényhez:

Lambert-sora:

ahol a Jacobi-féle thetafüggvény.

Megcáfolt sejtések[szerkesztés]

Az L(n) Liouville-függvény összegzési függvényének negatívjának grafikonja n = 2 × 109-ig. A zöld vonal mutatja azt a tartományt, ahol a Pólya-sejtés nem teljesül; a kék görbe az első Riemann-féle gyök hozzájárulását mutatja az oszcillációhoz

A Pólya-sejtés Pólya Györgytől származik 1919-ből. Legyen

A sejtés azt állítja, hogy minden n > 1. Ezt azóta megcáfolták. A legkisebb ellenpélda n = 906150257, amit Minoru Tanaka fedezett fel 1980-ban. Azóta megmutatták, hogy L(n) > 0,0618672√n végtelen sok n-re,[1] míg L(n) < −1,3892783√n végtelen sok pozitív n-re.

A kapcsolódó összeg

Sokáig nyitott kérdés volt, hogy T(n) ≥ 0 egy elég nagy nn0-ra. Ennek felvetését sokszor Turán Pálnak tulajdonítják, tévesen. Ezt Haselgrove cáfolta meg 1958-ban, megmutatva, hogy T(n) végtelen sokszor negatív. Az ellenkező eredmény a Riemann-sejtést is bebizonyította, ahogy Turán Pál levezette.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. P. Borwein, R. Ferguson, and M. J. Mossinghoff, Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Liouville function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.