Lezárási operátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Legyen adott egy tetszőleges A halmaz, ennek a hatványhalmazán (részhalmazai halmazán) értelmezett és ugyan abba képező függvényt akkor nevezünk zárási operátornak, ha az üres halmazt önmagának felelteti meg, egy halmaz képe mindig tartalmazza az illető halmazt, és egy halmazra többször is alkalmazva, iterálva a függvényt, ugyanazt kapjuk, mintha csak egyszer alkalmaztuk volna. A formális definíció lentebb található.

A fogalom elsősorban a topológiában fontos. E tudományágban többféleképp is lehet definiálni a „zárt halmaz” alapvető fogalmát, és az egyik lehetőség épp az, hogy zárt halmazok a lezárási operátorok értékkészletének elemei (Kuratowski-axiómarendszer). Ez természetesen azt is jelenti, hogy egy halmaz adott részhalmaza attól is függően lehet zárt vagy nem zárt, hogy milyen zárási operátort alkalmazunk; de erről ld. inkább a zárt halmaz cikket.

Definíció[szerkesztés]

Legyen A tetszőleges halmaz és  \mathcal{P} \left( A \right) ennek hatványhalmaza. Az  f: \mathcal{P} \left( A \right) \rightarrow \mathcal{P} \left( A \right) függvényt zárási operátornak nevezzük, ha

  1.  f( \empty ) = \empty
  2.  \forall X \in \mathcal{P} \left( A \right) : \ X \subseteq f(X)
  3.  \forall X \in \mathcal{P} \left( A \right) : \ f(f(X)) = f(X)

Általánosítások és változatok[szerkesztés]

Három fontos fajtája az algebrai zárási operátor, a topologikus zárási operátor és a monoton zárási operátor. Egyszerűen belátható, hogy topologikus zárási operátor mindig monoton is.

Példák[szerkesztés]

Formális nyelvek[szerkesztés]

Legyen \mathcal C formális nyelvek osztálya. Ekkor létezik \mathcal C lezárása a nyelveken végzett műveletekre.

  • Legyen H homomorfizmus.
Ha L\in\mathcal{C}, akkor H_{hom}(\{L\}) = \{L' | \exist h, h \mbox{ homomorfizmus}: h[L]=L' \} \,\,\,\,\in\mathcal{C}
  • Lezárás az unióra:
H_{\cup}(\mathcal{C}) = \{L | \exists L_1,L_2\in\mathcal{C} : L=L_1\cup L_2\}
  • Lezárás a metszetre:
H_{\cap}(\mathcal{C}) = \{L | \exists L_1,L_2\in\mathcal{C} : L=L_1\cap L_2\}
  • Lezárás a konkatenációra:
H_{\circ}(\mathcal{C}) = \{L | \exists L_1,L_2\in\mathcal{C} : L=L_1L_2\}

Ha ezek a lezárások nem változtatnak a \mathcal C nyelvosztályon, akkora nyelvosztály zárt az adott műveletre.

Források[szerkesztés]

  • [1]
  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hüllenoperator című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.