Lagrange-féle középértéktétel

Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

A tétel állítása

Ha f folytonos függvény a zárt $[a,b]$ intervallumban és differenciálható a nyílt $(a,b)$ intervallumban, akkor van olyan $a<c<b$ szám, amire

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

Bizonyítás

A tételt visszavezetjük speciális esetére, a Rolle-tételre. Legyen $a\leq x\leq b$-re

$g(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x.$

A g függvény nyilván folytonos az $[a,b]$ intervallumban és a belső pontokban

$g'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Továbbá

$g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(b-a)=0.$

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire $g'(c)=0$, azaz

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Általánosítás

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.

A tétel magasabb dimenziókban

Legyen $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ az $(a,b)$ szakaszon differenciálható függvény ($a,b\in \mathbb {R} ^{n}$esetén az $(a,b)$ szakaszon az $S=\{a+t(b-a)~|~t\in (0,1)\}$ pontokat értjük). Ekkor van olyan $c\in S$, amelyre

$f(b)-f(a)=\langle \operatorname {grad} ~f(c),b-a\rangle$

teljesül.

Bizonyítás

Legyen $g\left(t\right)=f(a+t(b-a)),$ egy $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ függvény. Mivel $g$ differenciálható a $(0,1)$ intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz $\exists \theta \in (0,1)$, hogy

$g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta ).$

g definícióját beírva:

$g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g'(\theta )=\langle \operatorname {grad} ~f(a+\theta (b-a)),b-a\rangle$

$c:=a+\theta (b-a)$ jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.