Lagrange-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy dinamikai rendszer Lagrange-függvénye (L) olyan függvény, amely összegzi a rendszer dinamikáját. Joseph Louis Lagrange után kapta a nevét, s magának a függvénynek a bevezetése William Rowan Hamilton ír matematikus nevéhez fűződik. Klasszikus mechanikában a Lagrange-függvény úgy van meghatározva, mint a mozgási energia, , mínusz a potenciális energia .[1]

Matematikailag:

Ha ismerjük egy rendszer Lagrange-függvényét, akkor a mozgásegyenletek megkaphatók, ha behelyettesítjük a Lagrange-függvényt az Euler–Lagrange-egyenletbe.

A Lagrange-formalizmus[szerkesztés]

Fontosság[szerkesztés]

A Lagrange-formalizmus nemcsak a széles alkalmazhatósága miatt fontos, hanem azért is, mert általa jobban megismerhetjük a fizikát. Annak ellenére, hogy a Lagrange-függvény csak a klasszikus mechanikát hivatott leírni, a legkisebb hatás elvével, amit arra használunk, hogy felírjuk a Lagrange-egyenletet, alkalmazhatóvá vált a kvantummechanikában is.

Más módszerekkel szembeni előnyök[szerkesztés]

  • Ebben a formalizmusban nem vagyunk egyik koordinátarendszerhez sem láncolva, hanem bármelyik nekünk előnyös változót használhatunk a rendszer leírására, amelyeket általános koordinátáknak nevezzük, s ezek a rendszernek bármilyen független változói lehetnek. Például a mágneses tér erőssége egy pontban, egy pont helyzete a térben, stb.
  • Ha a Lagrange-függvény invariáns bizonyos szimmetriára, akkor a keletkező mozgásegyenletek is invariánsak lesznek az illető szimmetriára.
  • A Lagrange-függvényből származtatott egyenletek egyértelműek és nem önellentmondóak.

"Ciklikus koordináták" és megmaradási tételek[szerkesztés]

Az egyik fontos tulajdonsága a Lagrange-függvénynek, az az, hogy a megmaradási tételek könnyen kiolvashatók belőle. Például ha a Lagrange-függvény csak az egyik általános koordináta idő szerinti deriválttól függ de nem függ magától az általános koordinátától, akkor az általánosított impulzus,

,

egy megmaradó mennyiség. Ez egy speciális esete a Noether tételnek, s az ilyen koordinátákat ciklikusaknak nevezzük.

Például az alábbi általánosított impulzus,

,

megmaradása azonnal belátható, ha a rendszer Lagrange-függvénye a következő alakú:

Amennyiben a Lagrange függvény, , nem függ expliciten az időtől, akkor a rendszer energiája lesz egy megmaradó mennyiség.

Euler–Lagrange-egyenlet[szerkesztés]

A mechanikai rendszerek mozgásegyenleteit legáltalánosabban a legkisebb hatás elvével adhatjuk meg. Vagyis, ha egy adott mechanikai rendszert egy adott

függvény jellemez, a rövidség kedvéért jelöljük csak -nek, s a rendszer helyzetét a és időpillanatokban a és koordináták jellemzik, akkor a két helyzet között úgy fog mozogni a rendszer, hogy az

minimális legyen, ahol az integrált hatásfüggvénynek nevezzük.

Legyen az a függvény, amelyre a hatásfüggvény (a fenti integrál) minimális. Ekkor ha függvényt helyettesítjük bármely függvénnyel, ahol a egy tetszőleges függvény, amely és között kis értékeket vesz fel (matematikailag a variációjának nevezzük), az az növekedéséhez vezet. Minden függvénynek a és időpillanatokban ugyanazt a és értéket kell felvennie, s ez csak akkor lehetséges, ha

Ha a hatásfüggvényben a -t helyettesítjük -val, akkor az változását a

különbség fogja megadni. Ha ezt sorbafejtjük és csak az elsőrendű tagokat vesszük figyelembe (ezt az integrál első variációjának nevezzük), akkor az extrémumának szükséges feltétele az, hogy ezeknek a tagoknak az összege 0 legyen, s akkor a legkisebb hatás elvét a következő alakban írhatjuk fel:

Ha végrehajtjuk a variációt, akkor a következő alakhoz jutunk:

Behelyettesítve, hogy , valamint a második tagot parciálisan integrálva, és figyelembe véve, hogy , a következő kifejezést kapjuk:

,

ami csak akkor lehetséges, ha az integrandus nulla, tetszőleges értékek mellett, s ez csak akkor lehetséges, ha

.

A fenti egyenletet nevezzük az Euler–Lagrange-egyenletnek, s ha ismerjük egy adott rendszer Lagrange-függvényét, akkor behelyettesítve a fenti egyenletbe, s elvégezve a deriválásokat megkapjuk az adott rendszer mozgásegyenleteit.

Példa klasszikus mechanikából[szerkesztés]

Derékszögű koordinátarendszerben[szerkesztés]

Ha háromdimenziós térben vagyunk, akkor egy anyagi pont Lagrange-függvénye a következő:

.

Az Euler–Lagrange-egyenlet a következő alakú lesz:

ahol .

A deriválások elvégzése után a következőket kapjuk:


Polár koordinátarendszerben[szerkesztés]

Ha polár koordinátarendszeben dolgozunk, akkor az anyagi pont Lagrange-függvénye a következő lesz:

S az Euler–Lagrange-egyenletek az alábbiak lesznek:


Hivatkozások[szerkesztés]

  1. Torby, Bruce. Energy Methods, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing (1984). ISBN 0-03-063366-4 

További információk[szerkesztés]