Lépcsős függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Lépcsős függvényeknek hívjuk az olyan valós függvényeket, amelyek felírhatóak intervallumok indikátorfüggvényének (karakterisztikus függvény) lineáris kombinációjaként.

Más szóval: a lépcsős függvények szakaszosan konstans függvények, melyek csak végesen sok részből állnak.

Példa a lépcsős függvényre (vörös vonal), itt a lépcsős függvény jobbra folytonos

Definíciók, következtetések[szerkesztés]

függvényt lépcsős függvénynek hívják, ha felírható, mint:

az összes valós számra

ahol valós számok, intervallumok, és az indikátorfüggvénye:

Ebben a definícióban az intervallumoknak a következő két tulajdonsága van:

  1. Az i-edik és j-edik intervallumnak nincs közös része: , ha
  2. Az intervallumok uniója a valós számok halmaza,

Példák[szerkesztés]

Egységugrás-függvény
  • A konstans függvény egy triviális példája a lépcsős függvénynek. Itt csak egy intervallum van:

  • Az egységugrás (Heaviside-függvény) H(x) egy fontos lépcsős függvény .
  • A négyszögfüggvény a következő egyszerű lépcsős függvény. A négyszögfüggvény egy normalizált „boxcar” függvény, mely a teljes valós számtartományban zérussal egyenlő, kivéve egy intervallumot, ahol konstans értéke van. Az elektronikában használják egységimpulzusként.
Négyszögfüggvény

Ellenpéldák[szerkesztés]

Az egészrész függvény nem lépcsős függvény, mivel végtelen sok intervallummal rendelkezik. Egyes szerzők ezt is lépcsős függvénynek hívják, azzal a megjegyzéssel, hogy végtelen sok intervallummal rendelkezik.[1]

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Két lépcsős függvény összege és szorzata is lépcsős függvény. Egy lépcsős függvény szorzata egy számmal lépcsős függvény.
  • A lépcsős függvények értékei csak véges számok lehetnek. Ha az intervallumoknak a fent definiált lépcsős függvényben nincsenek közös részeik, és valós számok, akkor minden -re igaz.
  • Egy lépcsős függvény Lebesgue-integrálja, , ahol az intervallum hossza, és feltételezzük, hogy véges hosszúságú.

Valójában ez az egyenlőség lehet az első lépés egy Lebesgue-integrál létrehozására.[2]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Step function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Irodalom[szerkesztés]

  • Reiman István: Matematika. Budapest: Typotex. 2011. ISBN 9789632793009  
  • F. C. KINGMAN, S. J. TAYLOR: Introduction to Measure and Probability. (hely nélkül): Cambridge. 1966.  
  • S. LANG: Real and Functional Analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1993.  
  • W. RUDIN: Real and Complex Analysis. (hely nélkül): Collier Macmillan. 1968.  

Források[szerkesztés]

  1. Példa: Bachman, Narici, Beckenstein. Example 7.2.2, Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8 
  2. Weir, Alan J. 3, Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7