Kamatozás

A három eltérő kamatszámítási mód
Érdekes megfigyelni a nominális kamat és az effektív hozam metszéspontját egy évnél.

A kamat a pénz időértékének megtestesülése. Ha egy pénzösszeget a bankba elhelyezünk, akkor a bank pénz használatáért a betétünkre bizonyos kamatot ad. Hasonlóan, ha a bank pénzét használjuk, akkor ezért a felvett hitelért bizonyos ellenszolgáltatást kell nyújtanunk. Mivel a betétek és a hitelek kamatszámítási módja eltérő, ezért érdemes megismerni a három elterjedt változatát.

Nominális kamatozás

A nominális kamatozás (névleges vagy egyszerű kamatozás) során a kiinduló összeg (az alaptőke) bizonyos százalékban kifejezett hányadát szabályos időközönként (kamatperiódus) hozzáadják a tőkéhez. Ezt a százalékot kamatlábnak nevezzük.
A banki hirdetésekből ismert EBKM (egységesített betéti kamatláb mutató) is a nominális kamatozás módszerével számítódik. Ennek a bankok részéről praktikus oka, hogy az éves nominális kamatból számított egy évnél rövidebb távra szóló kamat magasabb, mint éven belül az effektív hozam, így az ügyfeleknek többnek tűnhet.

Számítási módja:

$V_{1}=V_{0}\cdot (1+t\cdot k)$

$V_{0}\;$ : alaptőke

$V_{1}\;$ : tőke a futamidő végén

$t\;$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve

$k\;$ : kamatláb

Nominális kamatozás esetén a kamatozási periódus végén kapott összegek számtani sorozatot alkotnak.

Példa

Egy újsághirdetésben azt látjuk, hogy 11%-os éves kamatot ad az egyik bank fél éves lekötésre. Le szeretnénk kötni 1000 Ft-ot, mennyit kapunk fél év múlva?

$V_{0}=1000;\quad k=11\%=0,11;\quad t={\frac {1}{2}}$

$V_{1}=V_{0}\cdot (1+t\cdot k)=1000\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\cdot 0,11\right)=1055$

Effektív hozam

Az effektív hozam (vagy kamatos kamat) alkalmazásánál a kamatperiódus végén a kamatot nem fizetik ki, hanem hozzáadják a tőkéhez és ez a következő időszakban többletkamatot eredményez, így a kapott kamat is kamatozik. A kamatjóváírás a gyakorlatban történhet többévente, évente, vagy havonta, és bár a banki gyakorlatban ritka, de elképzelhető rövidebb, tetszőleges tőkésítési periódus (nap, perc stb.) is. A közgazdaságtanban és a pénzügyekben az effektív hozam elterjedt, kamat címén szinte kivétel nélkül ezt számolják.
A THM-et (teljes hiteldíj mutató) is jellemzően effektív hozam módszerrel számolják ki.

Számítási módja:

$V_{1}=V_{0}\cdot (1+r)^{t}$

$V_{0}\;$ : alaptőke

$V_{1}\;$ : tőke a futamidő végén

$t\;$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve

$r\;$ : effektív hozam

Kamatos kamatozás esetén a periódusidők végén kapott összegek mértani sorozatot alkotnak.

Példa

Hasonlítsuk össze, hogy mi történne, ha effektív hozammal számítanánk ki a fél év után esedékes pénzünket!

$V_{0}=1000;\quad r=11\%=0,11;\quad t={\frac {1}{2}}$

$V_{1}=V_{0}\cdot (1+r)^{t}=1000\cdot (1+0,11)^{\frac {1}{2}}=1000\cdot {\sqrt {1,11}}\approx 1053,565$

Ez valamennyivel kevesebb, mint amit nominális kamatozással kaptunk volna.

Logaritmikus hozam

A logaritmikus hozam (gyakran rövidebben loghozam) másik neve folyamatos kamatozás, ugyanis a kamatfizetés technikailag minden időpillanatban történik. Számítási módjának megértéséhez először vezessük be az $r$ hozamú, éven belül $m$ alkalommal történő kamatos kamatozás képletét:

$V_{1}=V_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{m}$

Ha $m$ tart a végtelenhez (azaz a bank minden pillanatban jóváírja a kamatot), akkor határértéke $e^{r}$, ahol $e$ az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapszáma (értéke közelítőleg: $e\approx 2,718$):

$\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{m}=e^{r}$

Így a folytonos kamatozás képlete:

$V_{1}=V_{0}\cdot e^{t\cdot y}$

$V_{0}\;$ : alaptőke

$V_{1}\;$ : tőke a futamidő végén

$t\;$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve

$y\;$ : loghozam

Bár a mindennapi életben nem találkozhatunk vele, de a bankoknál rendszeresen alkalmazzák, mivel a számítások több esetben jelentősen egyszerűsödnek vele.

Példa

Megmutatjuk, hogy miért egyszerű loghozamokkal számolni! Legyen most is az indulótőkénk 1000 Ft, amit le szeretnénk kötni 3 évre. Olyan szerencsések vagyunk, hogy tudjuk előre három évre az éves loghozamokat, amelyek rendre 5%, 6% és 7%.

$V_{0}=1000;\quad y_{1}=5\%=0,05;\quad y_{2}=6\%=0,06;\quad y_{3}=7\%=0,07;$

$V_{1}=V_{0}\cdot e^{y_{1}}=1000\cdot e^{0,05}\approx 1051,27$

$V_{2}=V_{1}\cdot e^{y_{2}}=1051,27\cdot e^{0,06}\approx 1116,28$

$V_{3}=V_{2}\cdot e^{y_{3}}=1116,28\cdot e^{0,07}\approx 1197,22$

Kicsit egyszerűbben, a hatványozási azonosságot kihasználva:

$V_{3}=V_{2}\cdot e^{y_{3}}=V_{1}\cdot e^{y_{2}}\cdot e^{y_{3}}=V_{0}\cdot e^{y_{1}}\cdot e^{y_{2}}\cdot e^{y_{3}}=V_{0}\cdot e^{y_{1}+y_{2}+y_{3}}$

$V_{3}=V_{0}\cdot e^{y_{1}+y_{2}+y_{3}}=1000\cdot e^{0,05+0,06+0,07}=1000\cdot e^{0,18}\approx 1197,22$

Kapcsolódó szócikkek

• Kamat
• Jelenérték
• Hozamgörbe

Ajánlott irodalom

• Bodie, Z. - Kane, A. - Marcus, A. J. (2005), Befektetések, Aula Kiadó, ISBN 963-95-8542-4
• Brealy, R. A. - Myers, S. C. (2005), Modern vállalati pénzügyek, Panem Kiadó, ISBN 963-54-5422-8