Kőnig-tétel (gráfelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Példa egy páros gráfra. A kék szín egy maximális párosítást, a piros minimális lefogó ponthalmazt jelöl, mindkettő hatelemű.

A Kőnig-tétel a gráfelméletben egy páros gráf maximális párosítása és a minimális lefogó ponthalmaza közötti ekvivalenciát mondja ki. A tétel Kőnig Dénestől származik.

Legyen egy páros gráf. Ekkor a tétel szerint (azaz a legnagyobb független élhalmaznak ugyanannyi eleme van, mint a legkisebb lefogó ponthalmaznak), és ha G-ben nincs izolált pont, akkor (azaz a legkisebb lefogó élhalmaz azonos méretű a legnagyobb független ponthalmazzal).

Bizonyítás[szerkesztés]

Segédtétel:

minden gráfra. Bizonyítása: Ha egy maximális független élhalmaz, akkor csak ahhoz hogy éleit lefogjuk, = pontra van szükségünk, vagyis,

Először azt mutatjuk meg, hogy = . Tekintsük a következő ábrát:

Ktsk.jpg

Legyen egy olyan párosítás, amely javító utakkal már nem bővíthető. Legyen , azoknak az -beli pontoknak a halmaza, melyek -ból elérhetőek alternáló úton. Értelemszerűen, az párjainak halmaza. Legyen . -nek pontosan pontja van, melyek minden élet lefognak, ugyanis ( jelöli az halmaz szomszédjait egy páros gráfban). Ebből: , és a segédtételből adódik az állítás.

Gallai tételei miatt , és mivel , -nek is teljesülnie kell.

Kapcsolat a perfekt gráfokkal[szerkesztés]

Egy gráf perfekt, ha minden feszített részgráfjában a kromatikus szám megegyezik az abban levő maximális klikk méretével. Minden páros gráf perfekt, mivel minden részgráfja páros, esetleg független pontokból áll. Ha a részgráf tartalmaz éleket, akkor mindkét szám kettő; ha nem tartalmaz, akkor egy.

Lovász László egy eredménye szerint gráf akkor és csak akkor perfekt, ha komplementere is perfekt, és a Kőnig-tétel ekvivalens azzal, hogy a páros gráfok komplementere perfekt. A tétel az élgráfokkal is kapcsolatba hozható. Az élgráf kromatikus száma megegyezik az eredeti gráf kromatikus indexével. Kőnig élszínezési tétele szerint a páros gráfok élgráfjai perfektek. A kettőt összetéve kapjuk, hogy a páros gráfok élgráfjainak komplementere is perfekt. Tehát a Kőnig-tétel így is értelmezhető.

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Katona, Recski, Szabó: A számítástudomány alapjai. Typotex. Budapest, 2006. p. 60,61.
  • Frank András: Gráfelmélet