Kőnig-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a szócikk a halmazelméleti tételről szól. A gráfelméletiről a Kőnig-tétel (gráfelmélet) szócikkben olvashatsz.

A Kőnig-egyenlőtlenség a halmazelmélet egyik tétele, amely Kőnig Gyula matematikustól származik. A tétel szerint ha a kiválasztási axióma igaz, tetszőleges indexhalmaz, és számosságok minden értékre, amire teljesül minden esetén, akkor

ahol a bal oldalon az számosságok összege, a jobb oldalon az számosságok szorzata áll.

E tétel következménye, hogy teljesül minden végtelen számosságra. Innen adódik minden , számosságra, speciálisan .

Bizonyítása[szerkesztés]

Legyen , két, páronként diszjunkt halmazok sorozata, amire . Elég belátni, hogy van egy injektív, de nem bijektív

Legyen elem -ből -re. Legyen továbbá . Ekkor egyértelműen van egy , hogy . Legyen az a függvény, amire . Ekkor injektív.

Adva legyen most egy , és definiáljuk -t minden -re elemeként. Ekkor az helyen különbözik -beli képétől. Mivel ez minden -re teljesül, nem szürjektív, és így nem bijektív.

Források[szerkesztés]

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kőnig Gyula: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177-180.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von König (Mengenlehre) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.