Kígyó-lemma

A kígyó-lemma egy matematikai, azon belül homologikus algebrai lemma, aminek segítségével hosszú egzakt sorozatokat lehet konstruálni. A lemma kulcsfontosságú szerepet tölt be a homologikus algebrában és annak alkalmazási területein, például az algebrai topológiában. A lemma konstrukciójában szereplő homomorfizmust gyakran határleképezés néven említik.

Állítás

Legyen adott egy Abel-kategória – például az Abel-csoportok kategóriája vagy egy gyűrű feletti modulusok kategóriája –, és tekintsük ebben a következő kommutatív diagramot:

Itt 0 jelöli a kategória zéróobjektumát. A kígyó-lemma szerint ha a diagramban a sorok egzaktak, akkor létezik a következő egzakt sorozat:

$\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {\partial }{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c$.

Itt az objektumok az a, b és c morfizmusok magjai illetve komagjai, és ∂ az úgynevezett határleképezés.

Továbbá ha f monomorfizmus, akkor $\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b$ is mono, és ha g' epimorfizmus, akkor $\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c$ is epi.

Etimológia

A kígyó-lemma neve onnan származik, hogy a fenti hosszú egzakt sorozat beilleszthető az eredeti diagram köré:

Az itt d-vel jelölt határleképezés ilyetén berajzolásával a hosszú egzakt sorozat egy kanyargó kígyóra emlékeztet.

A hosszú egzakt sorozatban szereplő leképezések konstrukciója

A magok illetve komagok közötti leképezéseket az eredeti diagram vízszintes leképezései indukálják természetes módon a diagram kommutatív voltából adódóan. Az egzaktság a és b magjánál, illetve b és c komagjánál egyszerűen adódik az eredeti diagram sorainak egzaktságából. A kígyó-lemma mélyebb állítása tehát a határleképezésre vonatkozik.

Valamely gyűrű feletti modulusok kategóriájában a határleképezés a következőképpen definiálható. Legyen adott $x\in \ker c$, azaz $x\in C$ úgy, hogy $c(x)=0$. Ekkor g szürjektív voltából adódóan létezik olyan $y\in B$, hogy $g(y)=x$. A jobb oldali négyzet kommutatív, azaz $g'(b(y))=c(g(y))=0$. A B'-nél való egzaktság és f' injektív volta miatt létezik egy egyértelmű $z\in A'$, hogy $f'(z)=b(y)$. Definiáljuk $\partial (x)$-et mint z képét $\operatorname {coker} (a)$-ban.

Bár y választása nem kanonikus, könnyen ellenőrizhető, hogy z képe, azaz $\partial (x)$ független y választásától. Szintén könnyen látható, hogy az így definiált $\partial$ leképezés lineáris.

Mitchell beágyazási tétele szerint bármely Abel-kategória beágyazható valamely gyűrű feletti modulusok kategóriájába. Ez a beágyazás lehetővé teszi a fenti konstrukciót egy tetszőleges Abel-kategóriában.

Bizonyítás

A bizonyítás szerepel az It’s My Turn című filmben, Jill Clayburgh előadásában. Sőt, Charles Weibel Introduction to Homological Algebra című könyvében nem is szerepel a bizonyítás, ehelyett Weibel maga is a filmre hivatkozik – illetve arra biztatja az olvasót, hogy találja ki a bizonyítást maga.

A csoportok kategóriájában

A homologikus algebra számos állítása – például az 5-lemma – az Abel-kategóriák mellett a csoportok kategóriájában is igaz. Ez a kígyó-lemma esetében nincs így: valóban, a csoportok kategóriájában nem léteznek tetszőleges komagok. A komagok ugyanakkor helyettesíthetők az $A'/\operatorname {im} a$, $B'/\operatorname {im} b$, $C'/\operatorname {im} c$ mellékosztályokkal, és ez lehetővé teszi a határleképezést konstrukcióját. Az így létrejövő hosszú sorozat nem feltétlenül lesz egzakt (viszont mindig lánckomplexus lesz). Ha viszont azzal az erősebb feltevéssel élünk, hogy a komagok léteznek – azaz az a, b, c csoporthomomorfizmusok képei normálosztók –, akkor valóban hosszú egzakt sorozatot kapunk.

Ellenpélda

Tekintsük az $A_{5}$ alternáló csoportot. Ennek van egy az $S_{3}$ szimmetrikus csoporttal izomorf részcsoportja, amiben pedig a $C_{3}$ ciklikus csoport normálosztó. Így előáll a következő kommutatív diagram:

${\begin{matrix}&1&\to &C_{3}&\to &C_{3}&\to 1\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1\to &1&\to &S_{3}&\to &A_{5}\end{matrix}}$

A diagram sorai egzaktak. (A zéróobjektumot itt multiplikatív jelölésben 1 jelöli.) Látható ugyanakkor, hogy a középső oszlop nem egzakt: az $S_{3}\simeq C_{3}\rtimes C_{2}$ szemidirekt szorzatban $C_{2}$ nem normálosztó.

Mivel $A_{5}$ egyszerű csoport, a jobb oldali függőleges nyíl komagja szükségszerűen triviális. Ugyanakkor a $S_{3}/C_{3}$ faktorcsoport izomorf a $C_{2}$ ciklikus csoporttal. A kígyó-lemmában szereplő hosszú sorozat ebben az esetben tehát a következő lesz:

$1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow C_{2}\longrightarrow 1$

Mivel $C_{2}$ nem a triviális csoport, a sorozat nem egzakt.

Források

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
• Weibel, Charles. Introduction to Homological Algebra , Snake Lemma 1.3.2.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Snake lemma című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Schlangenlemma című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.