Ideális térelemek

Egy pontba összefutó egyenesek

Az ideális térelemek – pont, egyenes, sík – fogalma a projektív geometria fontos absztrakciója. Ez utóbbi a térbeli alakzatok síkban való ábrázolása során felmerülő problémák tisztázásának egyik fontos terméke.

Nem sokkal a perspektíva törvényeinek felfedezése után született meg az ideális pont fogalma. Nem is egy, hanem két forrást is ismerünk. Az egyik a csillagász Johannes Kepler (1571–1630), aki a parabola „másik” fókuszáról mondja, hogy végtelen távolságban van (szemben az ellipszis és a hiperbola „végesben” fekvő fókuszaival). A másik a francia építész Gérard Desargues (1591–1661), aki a párhuzamosok végtelen távoli „közös végéről” ír.

A helyesen szerkesztett tájképen (fotón) a párhuzamos egyenesek képe egy pontba fut össze (enyészpont, angolul: vanishing point). Ez a képpont nem feleltethető meg az ábrázolt térbeli egyenesek egyik pontjának sem. A vetítés (leképezés) matematikai elemzése egységessé tehető, ha párhuzamosok pontjaihoz egy, a valóságban nem létező, ideális pontot csatolunk.

Az egy síkban fekvő egyenesek ideális pontjai alkotják a sík ideális egyenesét. A párhuzamos síkok ideális egyenesei közösek. A tájképen a vízszintes síkok ideális egyeneseinek képe a horizont.

A tér különböző állású síkjainak ideális egyenesei alkotják a tér (egyetlen) ideális síkját.

Megjegyzés: az ideális térelemeket szokták végtelen távoli pontoknak, egyeneseknek, síknak is nevezni.

Irodalom

• Hajós György: Bevezetés a geometriába – Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
• Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria – Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
• Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai – ELTE-Mikrológia 43, 2002.
• Reinhardt, F.-Soeder, H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest-Berlin, 1993.