Halmaz lezártja

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában egy S halmaz lezártjának, ahol S egy topologikus tér részhalmaza, azon pontok halmazát nevezzük amelyek elemei S-nek vagy S-nek torlódási pontjai. S lezártja úgy is definiálható mint az S halmaz és S határának a uniója. Magyarul egy halmaz lezártja azon S pontjainak halmaza, ill. azon pontok halmaza amelyek S-hez "közel vannak". A halmaz lezártja és a belső része között kapcsolat van, egymás segítségével, és a komplementer művelettel kifejezhetőek egymásból.

Definíciók[szerkesztés]

Lezárási pontok[szerkesztés]

Ha S egy euklidészi tér részhalmaza, akkor x-et S lezárási pontjának nevezzük, ha x bármely nyílt környezete tartalmaz S-beli pontot. (Ez a pont lehet akár maga az x pont is.)[1] Valójában ez a definíció nem függ a környezet nyíltságától.

Torlódási pont[szerkesztés]

A fenti definíció szoros kapcsolatban van a torlódási pontok definíciójával. A különbség az, hogy a torlódási pontok esetén minden nyílt környezetnek tartalmaznia kell egy x-től különböző pontot S-ből.

Így minden torlódási pont lezárási pont is, de nem minden lezárási pont torlódási pont. Azok a lezárási pontok, amelyek nem torlódási pontok, izolált pontok. Vagyis, egy x pont izolált pontja S-nek, ha eleme S-nek és ha létezik olyan környezete, amely nem tartalmaz önmagán kívül más pontokat S-ből.[2]

Egy halmaz lezártja[szerkesztés]

Egy S halmaz lezártja az S összes lezárási pontjának a halmaza, vagyis a legkisebb olyan halmaz ami S-et magában foglalja és tartalmazza S összes torlódási pontját.[3] Egy S halmaz lezártját cl(S), Cl(S), vagy -el jelölik. A halmaz lezártja operátor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:[4]

  • cl(S) egy zárt halmaz amelynek részhalmaza S.
  • cl(S) a metszete az összes zárt halmaznak aminek S részhalmaza.
  • cl(S) a legkisebb zárt halmaz amelynek S részhalmaza.
  • cl(S) S és S határának ∂(S)-nak az uniója.
  • Egy S halmaz akkor és csak akkor zárt ha S = cl(S).
  • Ha S a T egy részhalmaza akkor cl(S) a cl(T) részhalmaza.
  • Ha A zárt halmaz akkor A-nak S akkor és csak akkor részhalmaza ha A-nak részhalmaza cl(S).

Néha a definíciónak a 2. vagy a 3. tulajdonságot használják.[5]

Példák[szerkesztés]

Topologikus térben:

  • .
  • Ha a teljes tér X, akkor X = cl(X).

Legyen R és C a hagyományos módon topológiaként értelmezve, ekkor:

  • Ha X euklidészi tér a valós számok (R) felett akkor: cl((0, 1)) = [0, 1].
  • Ha X euklidészi tér a valós számok (R) felett, akkor a racionális számok Q halmazának a lezártja a teljes tér vagyis R. Ezek alapján Q sűrű részhalmaza R-nek.

Operátorként[szerkesztés]

A lezáró operátor kapcsolatban áll a belső rész operátorával o-val, a következőképpen:

S = X \ (X \ S)o

és

So = X \ (X \ S)

ahol X jelöli azt a topologikus teret amelynek S a részhalmaza.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Closure (topology) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Schubert, p. 20
  2. Kuratowski, p. 75
  3. Hocking Young, p. 4
  4. Croom, p. 104
  5. Gemignani, p. 55, Pervin, p. 40 and Baker, p. 38 use the second property as the definition.

Források[szerkesztés]

Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology, Wm. C. Brown Publisher, ISBN 0-697-05972-3

Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7

Gemignani, Michael C. (1990), Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4

Hocking, John G. & Young, Gail S. (1988), Topology, Dover, ISBN 0-486-65676-4

Kuratowski, K. (1966), Topology, vol. I, Academic Press

Pervin, William J. (1965), Foundations of General Topology, Academic Press

Schubert, Horst (1968), Topology, Allyn and Bacon