Hahn–Banach-tétel

A Hahn–Banach-tétel a funkcionálanalízis egyik jelentős tétele, amely lehetővé teszi egy vektortér lineáris alterén értelmezett korlátos lineáris funkcionál kiterjesztését a teljes vektortérre. A tétel továbbá igazolja, hogy egy normával ellátott vagy egy lokálisan konvex vektortéren elegendő folytonos lineáris funkcionál definiálható ahhoz, hogy a duális terét vizsgáljuk.

A Hahn–Banach-féle elválasztási tétel a konvex halmazok geometriájának egyik jelentős tétele. Az elválasztási tételből következik például a (Minkowski–)Ascoli–Mazur-^[1] és a Krein–Milman-tétel.

A tétel algebrai alakjai

Valós vektorterek esetén

Legyen $X$ valós vektortér, $U$ a vektortér lineáris altere, továbbá legyen $p:X\to \mathbb {R}$ szublineáris, $\ell :U\to \mathbb {R}$ pedig lineáris leképezés, melyekre teljesül

\ell (x)\leq p(x)\quad \forall x\in U.

Ekkor létezik $\ell$ -nek egy lineáris kiterjesztése, tehát egy $L:X\to \mathbb {R} ,\ L|_{U}=\ell$ , melyre

L(x)\leq p(x)\quad \forall x\in X.

teljesül.^[2]

Komplex vektorterek esetén

Amennyiben $X$ komplex vektortér, $U$ a vektortér altere, $p:X\to \mathbb {R}$ szublineáris, $\ell :U\to \mathbb {C}$ pedig lineáris, melyekre $\Re (\ell (x))\leq p(x)\ \forall x\in U$ teljesül, akkor létezik egy $L:X\to \mathbb {C} ,\ L|_{U}=\ell$ lineáris kiterjesztés, amelyre $\Re (L(x))\leq p(x)\ \forall x\in X$ teljesül.^[3]

A kiterjesztési tétel

Ebben a tételben $\mathbb {K}$ a valós ( $\mathbb {R}$ ) vagy komplex ( $\mathbb {C}$ ) számtestet jelöli.

Normált vektorterekben

Legyen $(X,\|.\|)$ normált tér $\mathbb {K}$ felett, $U$ a vektortér egy altere. Bármely $u':U\to \mathbb {K}$ folytonos lineáris funkcionálra létezik egy $x':X\to \mathbb {K}$ folytonos lineáris funkcionál, melyre a következők teljesülnek:

x'|_{U}=u',\quad \|x'\|=\|u'\|.

A kiterjesztési tétel a Hahn–Banach-tétel algebrai alakjának következménye.^[4] A tételből következik, hogy egy normált vektortér duális teréből (jelölés szerint $X'$ kinyerhetők információk a vektortérről és annak elemeiről. Például, ha egy fixált $x\in X$ -re definiáljuk az $u':\operatorname {span} \{x\}\to \mathbb {K} ,\ u'(\lambda x)=\lambda \|x\|$ folytonos lineáris funkcionált, akkor a kiterjesztési tétel szerint létezik egy folytonos lineáris funkcionál $x'\in X'$ , melynek normája 1 és $x'(x)=\|x\|$ . Továbbá, ha $x_{1},x_{2}\in X$ vektorok nem egyenlőek, akkor létezik egy olyan $x'\in X'$ , melyre $x'(x_{1})\neq x'(x_{2})$ , tehát $X'$ szétválasztja $X$ pontjait.^[5]

Lokálisan konvex vektorterekben

A normált terekkel ellentétben egy lokálisan konvex vektortér topológiáját nem egy norma indukálja, hanem félnormák családja. Egy $X$ lokálisan konvex vektortér duális tere, jelölés szerint $X'$ azokat a $X\to \mathbb {K}$ lineáris funkcionálokat tartalmazza, amelyek a félnormák családja által generált topológiában folytonosak.^[6]

A Hahn–Banach-féle kiterjesztési tétel teljesül lokálisan konvex vektorterekre is: legyen $X$ lokálisan konvex vektortér, $U\subset X$ lineáris altér, és $\ell \in U'$ . Akkor létezik $\ell$ -nek egy kiterjesztése $X'$ -ben.^[7]

Nem lokálisan konvex vektorterekben

A kiterjesztési tétel nem feltétlenül teljesül, ha a topologikus vektortér nem lokálisan konvex. Például, legyen $0<p<1$ és

L^{p}([0,1])=\left\{f:[0,1]\to \mathbb {K} \ {\Big |}\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}dx<\infty \right\}

.

Ez a halmaz egy teljes, metrizálható topologikus vektorteret alkot, amelyben összesen két nyílt konvex halmaz található: az üres halmaz és a teljes tér (azaz $L^{p}([0,1])$ ), tehát ez a vektortér nem lokálisan konvex, továbbá az egyetlen folytonos lineáris funkcionál $L^{p}([0,1])$ -n a konstans nullfüggvény.^[8] Mivel $L^{p}([0,1])$ Hausdorff-tér, ezért Riesz Frigyes egy tétele szerint bármely véges dimenziós $M\subset L^{p}([0,1])$ altér lineárisan homeomorf a $\mathbb {K} ^{\dim M}$ euklideszi térhez.^[9] Ebből következik, hogy bármely $M$ -en definiált nemnulla lineáris funkcionál folytonos, azonban egyiknek sincs egy folytonos lineáris kiterjesztése $L^{p}([0,1])$ -re.

A tétel geometriai alakjai

A Hahn–Banach tétel algebrai alakjaiból levezethetőek tételek, amelyeket kollektíven elválasztási tételeknek hívunk. Ezek a tételek azt a konvex geometriai tételt általánosítják, amely kimondja, hogy $\mathbb {R} ^{n}$ két diszjunkt nemüres konvex részhalmaza mindig elválasztható egy affin hipersíkkal, amely az $f^{-1}(s)=\{x\ |f(x)=s\}$ szinthalmazzal leírható, ahol $f$ egy nemnulla lineáris funkcionál, $s$ pedig egy szám.

Az elválasztási probléma a következőképp fejezhető ki: legyen $X$ topologikus vektortér $\mathbb {K}$ felett. Létezik-e bármely $U,V\subset X$ nemüres diszjunkt konvex halmazra egy $x'\in X'$ lineáris funkcionál, melyre $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ esetén

\sup _{x\in U}x'(x)\leq \inf _{x\in V}x'(x),

$\mathbb {K} =\mathbb {C}$ esetén pedig

\sup _{x\in U}\Re (x'(x))\leq \inf _{x\in V}\Re (x'(x))

teljesül?^[10]

Egy nyílt és egy tetszőleges konvex részhalmaz elválasztása

Legyen $X$ lokálisan konvex vektortér, $V_{1},V_{2}\subset X$ konvex, $V_{1}$ pedig nyílt. Ha $V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ , akkor létezik egy $x'\in X'$ , melyre teljesül^[11]

\Re (x'(v_{1}))<\Re (x'(v_{2}))\quad \forall v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}.

Ez a tétel teljesül tetszőleges topologikus vektorterekre is, azonban előfordulhat, hogy $V_{1}$ a triviális részhalmaz.^[12]

Zárt konvex részhalmaz és egy pont elválasztása

Legyen $X$ lokálisan konvex vektortér, $V\subset X$ zárt és konvex, továbbá legyen $x\notin V$ . Ekkor létezik egy $x'\in X'$ és egy $\epsilon >0$ , melyekre

\Re (x'(x))<\Re (x'(x))+\epsilon \leq \Re (x'(v))\quad \forall v\in V

teljesül. Továbbá, ha bármely $v\in V$ -re és bármely egynél nem nagyobb abszolút értékű $\lambda \in \mathbb {K}$ -re $\lambda v\in V$ teljesül, akkor létezik egy $y'\in X'$ és egy $\epsilon >0$ , melyekre

|y'(v)|+\epsilon \leq \Re (x'(x))\quad \forall v\in V

teljesül.^[13] Mivel az egypontú halmaz konvex és zárt, ezért elmondható, hogy egy $X$ lokálisan konvex Hausdorff térben bármely $x\neq y$ -ra létezik egy $x'\in X'$ , melyre $x'(x)\neq x'(y)$ .^[14] Normált vektorterek esetén ez az eredmény a kiterjesztési tételből következik.

Az Ascoli–Mazur-tétel

Legyen $X$ topologikus vektortér, $M\subset X$ lineáris altér, $K\subset X$ nemüres nyílt konvex halmaz, melyre $K\cap M=\emptyset$ teljesül. Akkor létezik egy $N\subset X$ zárt hipersík amely tartalmazza $M$ -et, azonban nincs közös pontja $K$ -val.^[15]

Ebből a tételből következik, hogy ha $X$ továbbá lokálisan konvex, akkor létezik egy $x'\in X'$ , melyre $x'(m)=0$ bármely $m\in M$ -re, és $\Re (x'(k))>0$ bármely $k\in K$ -ra.^[16]

Jegyzetek

↑ Semen Kutateladze. Fundamentals of Functional Analysis, 40. o. (1996)
↑ Werner 2018, Satz III.1.2
↑ Werner 2018, Satz III.1.4
↑ Werner 2018. Theorem III.1.5
↑ Werner 2018, Korollar III.1.6
↑ Werner 2018, Definition VIII.2.5
↑ Werner 2018, Satz VIII.2.8
↑ Rudin 1991, §1.47
↑ Rudin 1991, 7–18.o.
↑ Werner 2018, 113–114.o.
↑ Werner 2018, Theorem VIII.2.11
↑ John B. Conway. A Course in Functional Analysis. Springer (2007). ISBN 978-1-4757-4383-8
↑ Werner 2018, Theorem VIII.2.12
↑ Werner 2018, Korollar VIII.2.13
↑ François Trèves. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, 184. o. (2006). ISBN 978-0-486-45352-1
↑ Lawrence Narici, Edward Beckenstein. Topological Vector Spaces (2011). ISBN 978-1584888666

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hahn–Banach theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von Hahn-Banach című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Werner, Dirk. Funktionalanalysis, 8. Auflage (német nyelven), Springer (2018). ISBN 978-3-662-55407-4
Rudin, Walter. Funcional Analysis, Second edition, International Series in Pure and Applied Mathematics (angol nyelven), McGraw Hill Inc.. ISBN 978-0-07-054236-5

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Semen Kutateladze. Fundamentals of Functional Analysis, 40. o. (1996)

[2] Werner 2018, Satz III.1.2

[3] Werner 2018, Satz III.1.4

[4] Werner 2018. Theorem III.1.5

[5] Werner 2018, Korollar III.1.6

[6] Werner 2018, Definition VIII.2.5

[7] Werner 2018, Satz VIII.2.8

[8] Rudin 1991, §1.47

[9] Rudin 1991, 7–18.o.

[10] Werner 2018, 113–114.o.

[11] Werner 2018, Theorem VIII.2.11

[12] John B. Conway. A Course in Functional Analysis. Springer (2007). ISBN 978-1-4757-4383-8

[13] Werner 2018, Theorem VIII.2.12

[14] Werner 2018, Korollar VIII.2.13

[15] François Trèves. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, 184. o. (2006). ISBN 978-0-486-45352-1

[16] Lawrence Narici, Edward Beckenstein. Topological Vector Spaces (2011). ISBN 978-1584888666

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]