Háromszögek egybevágósága

A háromszögek egybevágóságáról szóló tétel a síkgeometria egy állítása, ami háromszögek egybevágóságának bizonyítását könnyíti meg. A háromszögek egybevágók, ha területük és formájuk megegyezik. Az egybevágóság ekvivalenciareláció, ami azt jelenti, hogy a háromszögek egybevágóság erejéig azonosnak tekinthetők.

Ha az $ABC$ és $DEF$ háromszögek egybevágók, akkor ezt így jelöljük: $ABC\cong DEF$.

Állítások

• Két háromszög egybevágó, ha oldalaik hossza megegyezik.
• Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a közrezárt szögük megegyezik.
• Két háromszög egybevágó, ha egy oldaluk és a rajta fekvő belső szögek megegyeznek.
• Két háromszög egybevágó, ha egy oldaluk, egy ezen fekvő szög és a vele szemközti szög megegyezik.
• Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabb oldallal szemközti szögük megegyezik.

Ha két háromszög szögei megegyeznek, akkor nem biztos, hogy egybevágók. De hasonlók.

Bizonyítások

A háromszögek egybevágóságáról szóló tétel állításait klasszikusan szerkesztéssel bizonyítják. A megadott adatokból megszerkesztik a háromszöget. Ha csak egyféle megoldás van, akkor minden ennek megfelelő háromszög egybevágó.

Adva legyenek az $a$, $b$ és $c$ oldalak. Felmérünk egy $a$ hosszúságú $BC$ szakaszt. $C$ körül rajzolunk egy körívet $b$ sugárral, és $B$ körül rajzolunk egy körívet $c$ sugárral. A körívek egymást két pontban metszik, az $A_{1}$ és $A_{2}$ pontokban, melyek két tükörszimmetrikus háromszöget adnak ki. Ez a következő szerkesztésekben is így van. Ha rögzítünk egy körüljárási irányt, akkor az eredmény egyértelmű.

Adva legyen az $a$ oldal, a $\beta$ és a $\gamma$ szögek. Felmérünk egy $a$ hosszúságú $BC$ szakaszt. Húzunk egy-egy félegyenest, melyek a szakasszal $\beta$ és $\gamma$ szöget zár be. Ezek a félegyenesek két, egymással tükörszimmetrikus pontban metszik egymást, az $A_{1}$ és $A_{2}$ pontokban, melyek két tükörszimmetrikus háromszöget adnak ki.

Adva legyen az $a$, $b$ oldalak, és a $\gamma$ szögek. A $C$-vel $\gamma$ szöget bezáró félegyenesre felmérjük a $b$ oldalt, majd a metszéspontból az $a$ oldalt. A szerkesztés tükörszimmetrikusan is elvégezhető.

A rövidebb oldallal szemközti szög esetén az eredmény nem egyértelmű

Adva legyen $b$, $c$ és $\gamma$, ahol $c>b$. Húzunk két félegyenest $C$ csúcsponttal $\gamma$ szöget zárnak be. Az egyik szárra felmérjük a rövidebb $b$ szakaszt, így találjuk meg az $A$ pontot; $A$ körül húzunk egy $c$ kört, ami a szög szárát a $B$ pontban metszi.

Ahogy az ábra mutatja, fontos, hogy a rövidebb oldallal szemközti szögről van szó. Ha a rövidebb oldallal szemközti szög van megadva, akkor több nem egybevágó háromszög is létezik, melyek eleget tesznek a feltételeknek: $A_{1}BC$ és $A_{2}BC$ nem egybevágók. Az $a$ és $c$ oldalak, illetve a $\gamma =\angle ACB$ szög megegyezik. Azonban a $b_{1}$ és $b_{2}$ oldalak, illetve a $\angle CBA_{1}$ és $\angle CBA_{2}$ szögek különbözőek. Itt $c<a,$, ami nem tesz eleget a $c>b$ feltételnek. Azonban ez az eset sem mindig kétértelmű: ha $a\sin \gamma$, akkor a háromszög derékszögű, és egyértelmű.

Megjegyzések

Az euklideszi geometria Hilbert-féle axiómarendszerében a harmadik eset axióma; a többi eset ebből és más axiómákból levezethető. Hilbert ezt szükségesnek tekintette, mivel Euklidész ránk maradt bizonyítási kísérletei további feltételezéseket használt, melyek nem voltak felsorolva az axiómák vagy posztulátumok között.

Előfordulhatnak más esetek is, melyeknél több független adatból egyértelműen szerkeszthető háromszög. Ezek tratalmazhatják a beírt kör sugarát, a körülírt kör sugarát, területet, magasságokat, súlyvonalakat és további adatokat. Az ide tartozó kijelentések azonban nem tartoznak a klasszikus egybevágósági kritériumok közé.

A gömbi geometriában minden hasonlóság egybevágóság, így három szög egybevágóság erejéig meghatároz legfeljebb egy háromszöget. Mivel a gömbi geometriában a háromszögek szögösszege nem állandó, a harmadik szög megadása nem fölösleges. Viszont a háromszög létezéséhez kritérium, hogy a szögek összege nagyobb legyen, mint 180 fok.

Egybevágósági kritériumok

Az egybevágósági tételt gyakran alkalmazzák az elemi geometriában. A hasonlóság bizonyításában belátják a szükséges szakaszok, illetve szögek egyenlőségét, így a megfelelő háromszögek egybevágók. Megfordítva is alkalmazhatók: ha beláttuk, hogy két háromszög egybevágó, akkor a megfelelő szakaszok és szögek egyenlőségét is beláttuk.

Források

• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2, S. 76.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kongruenzsatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.