Gyenge Goldbach-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematika, azon belül a számelmélet területén a gyenge Goldbach-sejtés, páratlan Goldbach-sejtés vagy 3-prím probléma a következő állítás:

Minden, 5-nél nagyobb páratlan szám kifejezhető három prímszám összegeként (ugyanabban az összegben egy prímszám egynél többször is felhasználható).

A sejtést azért nevezik „gyengének”, mert ha az erős Goldbach-sejtést (ami két prímszám összegét említi) sikerülne igazolni, ez is automatikusan bizonyítottá válna. Ez nyilvánvaló abból, hogy ha bármely 4-nél nagyobb szám felírható két páratlan prímszám összegeként, akkor a négynél nagyobb páros számokhoz 3-at adva megkapjuk a 7-nél nagyobb páratlan számokat (a 7 maga felírható, mint 2+2+3).

2013-ban Harald Helfgott publikálta a gyenge Goldbach-sejtésre adott bizonyítását.[1] Jelenleg (2019) ez a bizonyítást széles körben igaznak tekinti a matematikusok közössége,[2] bár nem jelent meg egyetlen recenzált szakértői folyóiratban sem.

Egyesek így fogalmazzák meg a sejtést:

Minden hétnél nagyobb páratlan szám kifejezhető három páratlan prímszám összegeként.[3]

Ez a változat kizárja a 7 = 2+2+3 összeget, mivel ahhoz szükség van a páros prímszám 2-re. A 7-nél nagyobb páratlan számok esetében is valamivel erősebb állítás, hiszen kizárja az olyan összegeket, mint a 17 = 2+2+13, amiket a másik megfogalmazás megenged. Helfgott bizonyítása a sejtés mindkét változatára kiterjed. A sejtésnek ez a verziója is automatikusan következik az erős Goldbach-sejtésből.

Az eredmények idővonala[szerkesztés]

1923-ban Hardy és Littlewood megmutatták, hogy az általánosított Riemann-hipotézis elfogadása esetén a gyenge Goldbach-sejtés minden elengendően nagy páratlan számra igaz. 1937-ben Ivan Matvejevics Vinogradov kiküszöbölte az általánosított Riemann-hipotézistől való függést, és közvetlenül bizonyította (lásd Vinogradov-tétel), hogy minden elegendően nagy páratlan szám felírható három prímszám összegeként. Vinogradov eredeti bizonyítása a Siegel–Walfisz-tételre alapozott, ezért nem adott korlátot az „elegendően nagy”-ra; tanítványa, K. Borozdkin (1956) bizonyította, hogy a már elegendően nagy.[4] Az egészrész 4 008 660 számjeggyel írható le tízes számrendszerben, tehát nyilvánvalóan lehetetlen egyenként ellenőrizni az ennél kisebb számokat.

1997-ben Deshouillers, Effinger, te Riele és Zinoviev által publikált eredmény szerint[5] az általánosított Riemann-sejtésből következik a gyenge Goldbach-sejtés igaza minden számra. Az eredmény összefűzi az állítást, mely szerint a sejtés igaz minden 1020-nál nagyobb számra a kisebb számokon végzett kiterjedt számítógépes kereséssel.[6]

Olivier Ramaré 1995-ben megmutatta, hogy minden n ≥ 4 páros szám felírható legfeljebb hat prímszám összegeként, amiből következik, hogy minden n ≥ 5 páratlan szám pedig felírható legfeljebb hét prímszám összegeként. Leszek Kaniecki bizonyította, hogy a Riemann-sejtés igazsága esetén minden páratlan szám felírható legfeljebb öt prímszám összegeként.[7] 2012-ben Terence Tao bizonyította ugyanezt a Riemann-sejtés nélkül; ez mindkét eredményt feljavítja.[8]

2002-ben Liu Ming-csi (Hongkongi Egyetem) és Wang Tian-ze a gyenge Goldbach-sejtés „elegendően nagy” változatának bizonyítására vonatkozó korlátot levitte kb. -ra. A kitevő itt is sokkal hatalmasabb annál, minthogy a számítógépes keresésnek értelme lenne – számítógépekkel az erős Goldbach-sejtést mintegy 1018-ig, a gyenge Goldbach-sejtést valamivel tovább tesztelték.

2012-ben és 2013-ban Harald Helfgott perui matematikus megjelentetett két tanulmányt, melyek a Hardy–Littlewood-féle körmódszerben szereplő nagyobb és kisebb ívek (major and minor arcs) becsléseit olyan mértékben megjavították, ami már elegendő volt a gyenge Goldbach-sejtés feltétel nélküli bizonyításához.[9][10][1][11] Itt az -mel jelölt nagyobb ívek az intervallumok uniói az racionálisok körül, ahol konstans. Az -mel jelölt kisebb ívek definíciójuk szerint .

Fordítás[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. a b Sablon:Cite arXiv
  2. Alexander von Humboldt-Professur - Harald Andrés Helfgott. www.humboldt-professur.de
  3. Weisstein, Eric W.: Goldbach Conjecture (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  4. Sablon:Cite arXiv
  5. (1997) „A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis”. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3 (15), 99–104. o. DOI:10.1090/S1079-6762-97-00031-0.  
  6. Yannick Saouter (1998). „Checking the odd Goldbach Conjecture up to 1020” (PDF). Math. Comp. 67 (222), 863–866. o. DOI:10.1090/S0025-5718-98-00928-4.  
  7. Kaniecki, Leszek (1995). „On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis”. Acta Arithmetica 72 (4), 361–374. o. DOI:10.4064/aa-72-4-361-374.  
  8. Tao, Terence (2014). „Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes”. Math. Comp. 83, 997–1038. o. DOI:10.1090/S0025-5718-2013-02733-0.  
  9. Sablon:Cite arXiv
  10. Sablon:Cite arXiv
  11. Sablon:Cite arxiv