Gyöktelenítés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A gyöktelenítés a matematikában olyan módszerek összefoglaló neve, melyek során egy törtet úgy alakítunk át (értékének megőrzése mellett), hogy nevezőjében ne szerepeljen gyökjel. Az eljárás pontosabb neve: törtek nevezőjének gyöktelenítése. Időnként a számláló gyökmentes alakra hozására is szükség van, tágabb értelemben ez is gyöktelenítés.

A gyöktelenítés általában egy megfelelő gyökös kifejezéssel történő bővítéssel és különféle nevezetes azonosságok felhasználásával történik. A gyöktelenítés egyszerűbb módszerei a magyar középfokú oktatásban szerepelnek a kötelező (általában a tizedikes osztályok számára előírt) tananyagban.

Egyszerűbb kifejezések gyöktelenítése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Négyzetgyöktelenítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. \frac{a}{m\sqrt{b}} gyöktelenítése (a,b,m ∈ Q racionális számok és m≠0, b≥0). Bővítünk a nevezőben szereplő gyökkifejezéssel:

\frac{a}{m\sqrt{b}} = \frac{a}{m\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{m\sqrt{b} \sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{m \left( \sqrt{b} \right)^{2}} = \frac{a \sqrt{b}}{mb}

2. \frac{a}{\sqrt{b}+c} gyöktelenítése (a,b,c ∈ Q racionális számok és b≥0 [1]). Bővítünk a nevezőben szereplő kifejezés ún. konjugáltjával, \sqrt{b}-c-vel, majd az

(x+y)(x-y)= x^2-y^2\,

nevezetes azonosságot alkalmazzuk:

\frac{a}{\sqrt{b}+c}  =  \frac{a}{\sqrt{b}+c} \cdot \frac{\sqrt{b}-c}{\sqrt{b}-c} =  \frac{a \left( \sqrt{b}-c \right)}{\left( \sqrt{b}+c \right) \left( \sqrt{b}-c \right)}=
 =\frac{a \left( \sqrt{b}-c \right)}{\left( \sqrt{b} \right)^{2} - c^{2}} =  \frac{a \left( \sqrt{b}-c \right)}{b - c^{2}}

Egy \frac{a}{\sqrt{b}-c} alakú kifejezés gyöktelenítése ugyanígy megy, csak ott \sqrt{b}+c -vel bővítünk.

Az utóbbi két módszer akkor is gyökteleníti a nevezőt, ha c=\sqrt{d}, azaz maga is egy racionális szám négyzetgyöke:

\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{d}}

hiszen a végeredményül kapott tört nevezőjében c2 szerepel.

n-edik-gyöktelenítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\frac{a}{\sqrt[n]{b}} gyöktelenítése (a,b ∈ R valós számok, n∈N olyan természetes szám; mely legalább kettő; és ha n páros, b≥0): bővítünk a nevezőben szereplő kifejezés n-1-edik hatványával:
\frac{a}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot \frac{ \left( \sqrt[n]{b} \right)^{n-1}}{\left( \sqrt[n]{b} \right)^{n-1}} = \frac{a \left( \sqrt[n]{b} \right)^{n-1}}{\sqrt[n]{b} \cdot \left( \sqrt[n]{b} \right)^{n-1}} = \frac{a \left( \sqrt[n]{b} \right)^{n-1}}{ \left( \sqrt[n]{b} \right)^{n}} = \frac{a \left( \sqrt[n]{b} \right)^{n-1}}{b}

További példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fentebb leírt példákban előforduló kifejezések természetesen nem merítik ki az összes gyökkifejezéses nevezőjű törteket, a leírt módszerek pedig nem alkalmasak minden ilyen tört gyöktelenítésére. A kettőnél több gyök összegét tartalmazó törtek nevezőjének gyöktelenítése például több lépésben történhet a konjugálttal való bővítés és az egyszerű bővítés módszerét alkalmazva, ezeket esetleg kombinálva vagy bármelyiküket többször ismételve:

 \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7} \right) \left( \sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7} \right) } =
=  \frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{5} \right)^{2} - \left( \sqrt{7} \right)^{2} } =  \frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\left( 2+2 \sqrt{2} \sqrt{5} +5 \right) - 7 } =
=  \frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\left( 7+2 \sqrt{10} \right) - 7 } =  \frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{ 2 \sqrt{10} } =
=  \frac{\sqrt{20}+\sqrt{50}-\sqrt{70}}{ 20 }

Hasonlók mondhatóak, ha a nevezőben gyökjel alatt további gyökjelek szerepelnek.

A gyöktelenítés szerepe, alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irracionális, konvergens sorozatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyöktelenítés jellegzetes alkalmazása, amikor gyököt tartalmazó konvergens sorozat konvergenciáját kívánjuk igazolni. Az alábbi példában a számlálót gyöktelenítjük.

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0

Inverz meghatározása a számkörbővítésben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A racionális számok elsőfokú bővítéseiben az inverz elem általában a szám reciproka. Például az a + b√2 alakú számok esetén, ahol a és b racionális számok, a nemnulla a + b√2 szám inverzét a reciproka konjugálttal való bővítésével kapjuk:

\frac{1}{a+\sqrt{2}b}=\frac{a-\sqrt{2}b}{(a+\sqrt{2}b)(a-\sqrt{2}b)}=\frac{a-\sqrt{2}b}{a^2-2b^2}

(A √2 irracionalitásának bizonyításához hasonló módon belátható, hogy a nevező sosem lesz nulla).

Hasonló alkalmazása van a komplex szám reciprokának kiszámításánál, amikor algebrai alakban szeretnénk az eredményt, hiszen a komplex számok teste nem más, mint a valós számtest √(-1) elemhez tartozó testbővítése. Ha a + bi nemnulla komplex szám, akkor

\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-(-1)b^2}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}

Táblázatokkal történő számolás megkönnyítése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amikor számológép nélkül egy olyan tört tizedestört alakját szándékszunk kiszámolni, amelynek nevezőjében egy irracionális számértéket felvevő gyökkifejezés áll, akkor, lévén a gyökkifejezés közelítő értéke többjegyű, a számlálóban álló számot egy, a nevezőben álló többjegyű számmal kell osztani (a követelmények szerint általában három tizedesjegyig kell számolni a közelítő értéket); holott a tört gyöktelenített alakjában egyszerűbben végezhető el az osztás.

Például a t \ = \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ \sim \ 0,707106781 ... törtet kiszámolva, a nevezőben álló gyök kettő értéke két tizedesjegyre 1,414, tehát t \ \sim \ \frac{1}{1,414} = \frac{1000}{1414} , azaz egy négyjegyű számmal kell osztani. Ugyanakkor a t-vel azonos értékű, de nevezőjében gyökjelet nem tartalmazó  \frac{\sqrt{2}}{2} tört kiszámolásakor elegendő csak a sokkal egyszerűbb kettővel való osztást végezni: t \ \sim \ \frac{1,414}{2}, ami technikailag is egyszerűbb, könnyebb és így gyorsabb is.

A műveletvégzés hibájának leszorítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha számológéppel számolunk, akkor a számolás fenti értelemben vett könnyűsége és időigénye a háttérbe kerül, vagy egészen jelentéktelenné válik, marad azonban egy másik probléma, a pontosságé. Az alábbi táblázatban a fent említett t tört egyre nagyobb pontossággal közelítő értékei láthatóak kétféleképp (gyökös, illetve gyöktelenített nevezőjű közelítő törttel) számolva. A gyöktelenített alakban számolt közelítések pontosabbak (kisebb a hiba). Ez a jelenség a 0-hoz közeli törtek esetében nyilvánul meg a legerősebben (az f(x)=a/x függvény „a 0 közelében ugyanis a végtelenbe tart”, azaz kis eltérés a nevező(ben lévő gyök) pontos értéktől a függvényértékek, vagyis a közelítőleg és pontosan számolt törtek értékének igen nagy eltérését, azaz a közelítés nagy hibáját is eredményezheti – míg gyöktelenített tört esetében a gyök közelítő és pontos értékének eltérése a számlálóban „manifesztálódik”, így a tört megközelítésének hibája általában kisebb, mint a gyökös része közelítésének hibája, hisz az előbbi kiszámolásakor az utóbbi még le is osztódik a nevezővel s így ált. csökken).

pontosság [2] gyökös
nevezőjű tört
tizedestört
alakja
hiba [3] gyöktelenített
nevezőjű tört
tizedestört
alakja
hiba
egy tizedesjegy \frac{1}{1,4} 0,71428571… ~ 14 ezr.[4] \frac{1,4}{2} 0,70 ~ 7 ezr.
két tizedesjegy \frac{1}{1,41} 0,7092198581.. ~2,11 ezr. \frac{1,41}{2} 0,7050 ~2,10 ezr.
három tizedesjegy \frac{1}{1,414} 0,70721357850.. ~ 0,1067973 ezr. \frac{1,414}{2} 0,7070 ~ 0,106781 ezr.
négy tizedesjegy \frac{1}{1,4142} 0,707113562… ~ 6,7813 mm.[5] \frac{1,4142}{2} 0,70710 ~ 6,7812 mm.
öt tizedesjegy \frac{1}{1,41421} 0,707108562… ~ 1,781191 mm. \frac{1,41421}{2} 0,7071050 ~ 1,781186 mm.

Az olyan számítástechnikai motivációk, miszerint a közelítő értékekkel osztani a számológépen is nehezebb e gépek „soros bemenete” miatt – azaz valahová (akár papírra, akár a gép memóriájába) fel kell jegyezni a nevezőből eredő gyökközelítő értékeket az osztáshoz, mert a gyök kiszámítása törölné a számlálóból származó bemenetet – a tudományos kalkulátorok elterjedésével – ezek általában tartalmazzák az 1/x gombot, melynek alkalmazása ezt a nehézséget áthidalja – elvesztették jelentőségüket, de csak alapműveleteket számítani képes (esetleg memória nélküli), egyszerűbb számológépekkel rendelkezők számára mindenkor fennállnak.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. E feltételek a formulák értelmességéhez szükségesek.
  2. Ti. a törtben szereplő gyök kettő közelítő értékének pontossága
  3. A „hiba” nevű mennyiség mindkét esetben a közelítő tört és a tört pontos értékének különbségének abszolút értékének közelítő (esetenként szokásosan kerekített) értéke
  4. ezr. = ezred
  5. mm. = milliomod

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]