Gyökrendszer

Gyökrendszeren (a matematikában) egy euklideszi vektortér olyan véges generátorrendszerét értjük, melynek (később definiálandó) speciális geometriai tulajdonságai (ld. lentebb) segítségével jól jellemezhetők a vektortér tükrözési szimmetriái.

Motiváció

Legyen

$f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

a koordinátatérben értelmezett olyan integrálható függvény, mely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy minden origó középpontú, a tengelyekre illeszkedő csúcsú szabályos oktaéder felületén konstans értéket vesz fel. Ekkor az f függvény olyan tükrözési szimmetriát mutat, ami miatt elegendő az első térnyolcadban kiszámítani az integrál értékét, majd azt megszorozni nyolccal:

$\int f=8\;\cdot \int f|_{\,_{(0,+\infty )^{3}}}$

Világos, hogy itt a szimmetria nem más mint a (1,0,0), (0, 1, 0) és (0, 0, 1) normálvektorú, origón áthaladó síkokra történő tükrözések szimmetriája. A

$B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\,$

sztenderd bázis minden elemét tükrözve az említett síkokra kapjuk, az

$R=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)\}\,$

vektorhalmazt, melynek pont 8 olyan részhalmaza van, mely egyben a koordinátatér bázisa is. Ezek feleltethetők meg a térnyolcadoknak és innen a 8-as szám. R zárt a fenti tükrözésekre, és elemeinek lineáris kombinációjával előállítható a vektortér összes eleme.

Érdemes megjegyezni, hogy egy origón áthaladó síkra vonatkozó tükrözés hozzárendelési utasítása előállítható a vektorműveletek segítségével. Ha n az S (origón áthaladó) sík normálvektora, akkor a v vektor S-re vonatkozó tükörképe:

$\mathbf {v} '=\mathbf {v} -2{\frac {\mathbf {v} \mathbf {n} }{\mathbf {n} \mathbf {n} }}\mathbf {n}$

ahol

${\frac {\mathbf {v} \mathbf {n} }{\mathbf {n} \mathbf {n} }}$

a v vektor n (nem feltétlenül egység hosszúságú) normálvektor egyenesére eső merőleges vetülete, melyet a $\cdot$ skaláris szorzással állítottunk elő.

Bonyolultabb vektortér esetén egyáltalán nem triviális megtalálni az egyszerűsítésre lehetőséget adó szimmetriákat, így érdemes keresni az R-hez hasonló tulajdonságú vektorhalmazokat (ezek lesznek a gyökrendszerek).

Absztrakt gyökrendszerek

Tükrözések

Definíció – Legyen V véges dimenziós vektortér a k test felett és α ∈ V vektor. Azt mondjuk, hogy az s ∈ Hom(V) lineáris transzformáció egy α által meghatározott tükrözés, ha

$1)\;\;s(\alpha )=-\alpha \,$

$2)\;\;dim\,H=dim\,V-1$

teljesül az s által fixen hagyott pontok alkotta H altérre (vagyis a H:={h ∈ V | s(h)=h } halmaz a V hipersíkja).

A lineáris leképezések előírhatósági tétele felhasználásával bizonyítható, hogy minden nemnulla α ∈ V esetén létezik egyetlen, α által meghatározott tükrözés. Ezt s _α-val jelöljük.

Tulajdonságok

A V* duális tér tulajdonságaiból adódik, hogy létezik egy kitüntetett

$\varphi :V{\mbox{*}}\otimes V\rightarrow Hom(V)$

vektortérizomorfizmus éspedig a következő hozzárendelési utasítással:

$\varphi (\mathbf {v} {\mbox{*}}\otimes \mathbf {v} ):\mathbf {w} \mapsto \mathbf {v} {\mbox{*}}(\mathbf {w} )\mathbf {v}$

Ennek felhasználásával juthatunk el a tükrözések geometriai tulajdonságaihoz.

Állítás – Ha s ∈ Hom(V) és α∈V \ { 0 }, akkor az alábbi három kijelentés egymással ekvivalens:

(i) s egy α által meghatározott tükrözés,

(ii) létezik olyan α * ∈ V* elem, hogy

$s=Id_{V}-\varphi (\alpha {\mbox{*}}\otimes \alpha )$

és α*(α)=2,

(iii) s²=Id_V és Im( s – Id_V ) = kα (k a vektortér alatt fekvő test).

Ha a fenti tulajdonságok teljesülnek, akkor α*-ot s egyértelműen meghatározza.

Megjegyzés – A (ii)-es pontban lévő α*-ot úgy kapjuk, hogy vesszük a H:={h ∈ V | s(h)=h } hipersíkot és definiáljuk azt az α* lineáris leképezést, melyre Ker(α*)=H és α*(α)=2.

A V²-n értelmezett (v,w)$\mapsto$(v,w)_α:=α*(v)α*(w) leképezés a skaláris szorzat szerepét játszhatja, ha v helyére α-t helyettesítünk. Ha ugyanis w=h+μα alkalmas h ∈ H-val és μ ∈ k-val, akkor (α,w)_α=α*(α)α*(μα)=4μ=(α|α)_αμ, így valóban fennáll a tükrözés hozzárendelési utasítására a $s_{\alpha }(\mathbf {w} )=\mathbf {w} -2{\frac {(\alpha ,\mathbf {w} )_{\alpha }}{(\alpha ,\alpha )_{\alpha }}}\alpha$ formula.

Gyökrendszer

Definíció – A k test feletti véges dimenziós V vektortér véges sok, nemnulla vektorának R halmazát gyökrendszernek nevezzük, ha

(i) R generátorrendszere V-nek,

(ii) minden α ∈ R-re az általa meghatározott s_α tükrözés olyan, hogy s_α(R)=R,

(iii) minden R-beli α és β elemre teljesül, hogy s_α(β) – β ∈ Zα (azaz s_α(β) – β az α egész számú többszöröse).

R elemeit gyököknek nevezzük.

Megjegyzés – a (iii) tulajdonságot szokás krisztalografikus tulajdonságnak is nevezni, mert ennek köszönhető, hogy a gyökrendszer rácsként is ábrázolható.

További elnevezések:

• oszthatatlan gyök – a (iii) tulajdonsághoz kapcsolódva, számelméleti megfontolásokkal belátható, hogy ha két gyök párhuzamos egymással, például létezik t ∈ Z, hogy α = t β , akkor szükségképpen t∈{$\pm$½,$\pm$ 1,$\pm$ 2}. Az α gyökkel párhuzamos gyökök halmaza tehát vagy {α, -α}, vagy {α, ½α, -½α, -α}, vagy {α, 2α, -2α, -α}, . Azt mondjuk, hogy egy α gyök oszthatatlan, ha ½α nem eleme R-nek (azaz a gyökkel csak az ellentettje párhuzamos a gyökök között).
• redukált gyökrendszer – azt mondjuk, hogy a gyökrendszer redukált, ha minden gyöke oszthatatlan; gyakran a gyökrendszer fogalmába beleértik a redukált tulajdonságot és (iv)-es tulajdonságként szerepeltetik a definícióban.
• irreducibilis gyökrendszer – ha a V vektortér, két altere direkt összegére bontható és mindkét altérhez találunk gyökrendszert, akkor a két gyökrendszer uniója V-nek is gyökrendszere; ha V egy R gyökrendszere előáll két V-t direkt összegként előállító altér gyökrendszerének uniójaként, akkor R felbontható (reducibilis); ellenkező esetben R-et felbonthatatlannak (irreducibilisnek) nevezzük.

Gyökrendszer Weyl-csoportja

Definíció – Ha R gyökrendszer a V vektortérben, akkor az Aut(V) (automorfizmus csoport) S:={s_α | α ∈ R} halmaz által generált részcsoportját a gyökrendszer Weyl-csoportjának nevezzük és W(R)rel jelöljük.

Állítás – Aut(R) és W(R) véges részcsoportjai Aut(V)-nek. W(R) normálosztó Aut(R)-ben.

Gyökrendszerek osztályozási tétele

A gyökrendszereket gráfokkal reprezentálhatjuk, melyeket Dynkin-diagramoknak nevezzük. Minden redukált gyökrendszer besorolható 4 végtelen (A_n, B_n, C_n, D_n) és 5 úgy nevezett sporadikus típusba (E₆, E₇, E₈, F₄, G₂) az izomorfizmus erejéig. Az osztályozás mikéntjét lásd a Dynkin-diagramoknál.

Néhány tétel gyökrendszerekre

• Tétel – A gyökrendszer Weyl-csoportja tranzitív csoportábrázolása a gyökrendszer Weyl-kamrái halmazának. A Weyl-csoport előáll a Weyl-kamrák falára történő tükrözések halmaza által generált részcsoportként.

• Tétel – A gyökrendszert egyértelműen meghatározza a Dynkin-diagramja. A gyökrendszer Dynkin-diagramja pontosan akkor összefüggő, ha a gyökrendszer irreducibilis.

• Tétel – Legyen ${\mathfrak {g}}$ Lie-algebra, ${\mathfrak {t}}$ maximális tórusz ${\mathfrak {g}}$-ben, ${\mathfrak {n}}({\mathfrak {t}})$ a ${\mathfrak {t}}$ normalizátora. A ${\mathfrak {g}}$ Lie-algebra ${\mathfrak {r}}$ gyökrendszerének ${\mathfrak {w}}$ Weyl-csoportja izomorf a Lie-algebra ${\mathfrak {n}}({\mathfrak {t}})/{\mathfrak {t}}$ Weyl-csoportjával.

Források

• Representation theory of Lie groups and Lie algebras [1]
• Dragan Milicic: Lectures on Lie groups [2]