Gravitációs potenciál

A klasszikus mechanikában egy adott pont gravitációs potenciálja megadja azt a tömegegységre jutó munkát, ami szükséges egy tárgy elmozdításához a gravitációs mezőben a rögzített referenciapontból egy adott pontba. Elektromos mezőben ennek megfelelője az elektromos potenciál, ahol a tömeg szerepét a töltés játssza. A referenciapont, ahol a potenciál nulla, megegyezés szerint végtelenül távol van minden tömegtől, ez pedig negatív potenciált eredményez bármilyen véges távolságon.

A gravitációs potenciál kétdimenziós szeletének ábrája az egységes gömbtestben, és annak környékén. A keresztmetszet inflexiós pontjai a test felületén vannak

A matematikában, a gravitációs potenciált még newtoni potenciálnak is nevezik, kulcsfontosságú szereppel rendelkezik az úgynevezett potenciálteóriában. Ugyanekkor hasznos lehet az egységesen polarizált ellipszioid testek által generált elektromágneses terek megoldásában.

Potenciális energia

A gravitációs potenciál ( V ) egy adott pontban egyenlő egy egységnyi tömeg gravitációs potenciális energiájával ( U ):

$V={\frac {U}{m}};$

ahol m a test tömege. Ha a test tömege 1 kilogramm, akkor a testhez hozzárendelhető potenciális energia megegyezik a gravitációs potenciállal. Tehát a potenciál úgy értelmezhető, mint a gravitációs tér által végzett negatív előjelű munka, amely egy tömegegységnek a végtelenségből való vonzásához szükséges.

Bizonyos helyzetekben az egyenletek egyszerűsíthetők egy olyan helyzet feltételezésével, amely szinte független a távolságtól. Például a Föld felületéhez közeli régióban a gravitációs gyorsulás, g, állandónak tekinthető. Ebben az esetben a potenciális energia különbsége két adott magasság között megközelítőleg egyenesen arányos a magasságok különbségével.

$\Delta U\approx mg\Delta h$

Matematikai alakja

Egy M tömegű ponttömegtől x távolságra levő V gravitációs potenciál úgy határozható meg, mint egy W munka, amelyet egy külső ágensnek kell elvégeznie ahhoz, hogy az egységtömeget a végtelenből ebbe a pontba hozzuk:

$V(x)={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int \limits _{\infty }^{x}F\cdot dx={\frac {1}{m}}\int \limits _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},$

ahol G a gravitációs állandó, és F a gravitációs erő. A potenciálnak az SI-rendszer szerinti mértékegysége J/kg. Megegyezés szerint a potenciál mindig negatív előjelű, és ha x tart a végtelenbe, akkor megközelíti a nullát.

A gravitációs tér , és így egy kisebb test gyorsulása egy hatalmas test körül, a gravitációs potenciál negatív gradiensét adja meg . Ezért a negatív gradiens negatívja egy pozitív gyorsulást fog megadni, a nagyobb test felé. Mivel a potenciálnak nincsenek szögkomponensei, ezért a gradiense:

$a={\frac {GM}{x^{3}}}x=-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {x}},$

ahol x egy x hosszúságú vektor, amely a ponttömegtől a kisebb test felé mutat, és ${\hat {x}}$ egy egységvektor, amely a ponttömegtől a kisebb test felé mutat. A gyorsulás nagysága az inverz négyzetes törvény szerint tehát:

$\left\vert a\right\vert ={\frac {GM}{x^{2}}}.$

X és r pontok, ahol r az elosztott tömegben (szürke) található, és a dm (r) elemi tömegváltozás az r pontban található.

A tömegeloszláshoz társuló potenciál lényegében a ponttömegek potenciáljának a szuperpozicióját jelenti. Ha a tömegeloszlás a ponttömegek egy véges gyűjteménye, és ha a ponttömegek az x₁, ..., x_n pontokban találhatóak, és m₁, ..., m_n tömegük van, akkor az eloszlás potenciálja a -ben:

$V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Gm_{i}}{\vert x-x_{i}\vert }}.$

Ha a tömeg eloszlása dm tömegként van megadva a három-dimenziós euklideszi térben R ^3, akkor a potenciál a konvolúciója a (− G / | r |)-nek dm-mel. Jó esetben ez megegyezik az integrállal

$V(x)=-\int _{R^{3}}{\frac {G}{\vert x-r\vert }}dm(r),$

ahol | x − r | az x és r pont közötti távolság . Ha van egy ρ (r) függvény ami az eloszlás sűrűségét adja meg r-ben, úgy, hogy dm(r)= ρ(r)dv(r) ahol a dv (r) az euklideszi térfogatelem, akkor a gravitációs potenciál a térfogat integrálja:

$V(x)=-\int _{R^{3}}{\frac {G}{\vert x-r\vert }}\rho (r)dv(r).$

Ha V egy potenciális függvény, amely a folytonos ρ ( r ) tömeg eloszlásból származik, akkor ρ kifejezhető a Laplace-operátorral, Δ:

$\rho (x)={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(x).$

Ez csak akkor érvényes, ha ρ folytonos, és nulla a korlátos halmazon kívül. Általában a dm tömeg mértéke ugyanúgy kifejezhető, mintha a Laplace-operátort eloszlás értelemben vennénk. Következésképpen, a gravitációs potenciál kielégíti Poisson egyenletét .

Az integrál kifejezhető az ismert transzcendentális függvényekkel minden ellipszoid alakzat esetében, beleértve a szimmetrikus alakzatokat, és az "elfajultakat" (degeneráltakat) is. Ezek közé tartozik a gömb is, melynek mindhárom féltengelye egyenlő; a lencseszferoid és az orsószferoid (lásd szferoid), ahol a két féltengely egyenlő; az "elfajultak" (másnéven degeneráltak) is, ahol a féltengely végtelen nagyságú. Mindezeket az alakzatokat gyakran használjuk, mikor a gravitációs potenciál integrálját használjuk fel az elektromágnesseségben (kivéve a G állandót, a 𝜌 pedig egy állandó töltéssűrűség).

Gömbszimmetria

A Newton által bizonyított héjtétel alapján egy gömbileg szimmetrikus tömegeloszlás az eloszláson kívül álló megfigyelő szempontjából ugyanúgy viselkedik, mintha a tömeg a középpontba lenne sűrítve, vagyis ponttömegként. A Föld felszínén a gravitációs gyorsulás, g értéke kb. 9.8 m/s², ám ez az érték kis mértékben változhat a szélességgel, illetve a magassággal. A gyorsulás értéke kicsivel nagyobb a Sarkoknál, mint az Egyenlítőnél, ezt pedig a Föld lencseszferoid természete magyarázza.

Egy gömbileg szimmetrikus tömegeloszláson belül lehetséges a Poisson-egyenlet megoldása gömbi koordinátákban. Egy egységes gömbi testben, melynek R sugara és ρ sűrűsége van, a gömb belsejében levő G gravitációs erő egyenesen arányos a középponttól való r távolsággal, megadván a gravitációs potenciált a gömb belsejében

$V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho (r^{2}-3R^{2});r\leq R$

Általános relativitáselmélet

Az általános relativitáselméletben a gravitációs potenciál helyett a metrikus tenzort használják. Ha egy gyenge gravitációs térről van szó, ahol a források nagyon lassan mozognak a fénysebességhez képest, akkor az általános relativitáselmélet visszatér a newtoni gravitációhoz, s ez esetben a metrikus tenzor kibővíthető a gravitációs potenciál függvényében.

Többpólusú bővítés

Az x pontban megadott potenciál

$V(x)=-\int _{R^{3}}{\frac {G}{\vert x-r\vert }}dm(r).$

A potenciál kibővíthető a Legendre-polinomok sorozatával. Jelöljük az x és r pontokat mint a tömegközéppont helyzetvektorai. A nevezőbeli különbséget kifejezzük úgy, mint a teljes négyzete négyzethgyöke

$V(x)=-\int _{R^{3}}{\frac {G}{\sqrt {\vert x\vert ^{2}-2x\cdot r+\vert r\vert ^{2}}}}dm(r)=-{\frac {1}{\vert x\vert }}\int _{R^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{\vert x\vert }}\cos \theta +\left({\frac {r}{\vert x\vert }}\right)}}}dm(r)$ahol a θ az x és r által bezárt szög, illetve r = |r|.

Az integrálható függvény kibővíthető mint egy Taylor-sorozat Z = r/|x|-ben. Ugyanahhoz az eredményhez jutunk egy másik módszerrel is, ha alkalmazzuk az általános binomiális tételt. Az eredményben kapott sorozat a Legendre-polinomok generálófüggvénye:

$(1-2XZ+Z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)$

érvényes |X| ≤ 1 és |Z| < 1 esetekre. A P_n együtthatók az n-fokú Legendre-polinomok. Következtetésképpen az integrálandó függvény Taylor együtthatóit a Legendre-polinomok adják meg X =cos θ-ban. Tehát a potenciált kibővíthetjük, mint egy x pontban konvergens sorozat, úgy, hogy r < |x|, bármely tömegelemre egy adott rendszerből:

$V(x)=-{\frac {G}{\vert x\vert }}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{\vert x\vert }}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )dm(r)=-{\frac {G}{\vert x\vert }}\int \left(1+\left({\frac {r}{\vert x\vert }}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{\vert x\vert }}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+...\right)dm(r)$Az $\int r\cos \theta dm$ integrál a tömegközéppontjának az x irányba lévő komponense; ez elhanyagolható, mivel az x vektor támadási pontja maga a tömegközéppont. Tehát az integrálnak az összegzés jele alá helyezése ad

$V(x)=-{\frac {GM}{|x|}}-{\frac {G}{|x|}}\int \left({\frac {r}{|x|}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(r)+...$

Ha olyan esetek hasonlítunk össze, melyekben a távolság a tömegközépponttól ugyanaz, akkor a potenciál kisebb lesz az elnyúlás irányában, a rá merőleges irányban pedig nagyobb. Azokban az esetekben, melyekben ugyanaz a távolság a felszíntől, ellenkező eredményhez jutunk.

Szám szerinti érték

A gravitációs potenciál abszolút értéke a Földhöz, a Naphoz, meg a Tejútrendszerhoz viszonyítva, különböző helyeken az alábbi táblázatban van megjelenítve, például egy Föld felszínén található testnek 60 MJ / kg-ra lenne szüksége, hogy elhagyja a Föld gravitációs terét, 900 MJ / kg-ra, hogy elhagyja a Napét, illetve több mint 130 GJ/kg-ra ahhoz, hogy a Tejút gravitációs terét hagyja el.

Elhelyezkedés	Földhöz viszonyítva	Naphoz viszonyítva	Tejútrendszerhez viszonyítva
Föld felszíne	60 MJ/kg	900 MJ/kg	≥ 130 GJ/kg
Alacsony Föld körüli pálya	57 MJ/kg	900 MJ/kg	≥ 130 GJ/kg
Voyager 1 (17,000 millió km a Földtől)	23 J/kg	8 MJ/kg	≥ 130 GJ/kg
0,1 fényévre a Földtől	0.4 J/kg	140 kJ/kg	≥ 130 GJ/kg

Lásd még

• Legendre-polinomok
• Geoid

Források

• Vladimirov, V. S. (1971), Equations of mathematical physics, orosz nyelvről fordította Audrey Littlewood. Alan Jeffrey szerkesztette. Pure and Applied Mathematics, 3, New York: Marcel Dekker Inc., MR 0268497
• Wang, W. X. (1988). "The potential for a homogeneous spheroid in a spheroidal coordinate system. I. At an exterior point". J. Phys. A: Math. Gen. 21: 4245-4250. Bibcode:1988JPhA...21.4245W
• Milon, T. (1990). "A note on the potential of a homogenous ellipsoid in ellipsoidal coordinates". J. Phys. A: Math. Gen. 23: 581–584. doi:10.1088/0305-4470/23/4/027
• Rastall, Peter (1991). Postprincipia: Gravitation for Physicists and Astronomers. World Scientific. pp. 7ff. ISBN 981-02-0778-6.
• Conway, John T. (2000). "Exact solutions for the gravitational potential of a family of heterogeneous spheroids". Mon. Not. R. Astron. Soc. 316. pp. 555–558. Bibcode:2000MNRAS.316..555C. doi:10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x.
• Cohl, H. S.; Tohline, J. E.; Rau, A. R. P. (2000). "Developments in determining the grativational potential using toroidal functions". Astron. Nachr. 321 (5/6). pp. 363–372. Bibcode:2000AN....321..363C. doi:10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003), Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-40896-1.
• Zhu, Lupeia (1988). "Gravity and Earth's Density Structure" Archiválva 2011. július 26-i dátummal a Wayback Machine-ben. Department of Earth and Atmospheric Sciences. EAS-437 Earth Dynamics. Saint Louis University. California Institute of Technology. Retrieved 2009-03-25.
• Charles D. Ghilani (2006-11-28). "The Gravity Field of the Earth". The Physics Fact Book. Penn State Surveying Engineering Program. Archiválva az eredetitő l 2011-07-18. Retrieved 2009-03-25
• Fukushima, Toshio (2014). "Prolate spheroidal harmonic expansion of gravitational field". Astrophys. J. 147 (6): 152. Bibcode:2014AJ....147..152F. doi:10.1088/0004-6256/147/6/152.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gravitational potential című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.