Gravitációs potenciál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A klasszikus mechanikában egy adott pont gravitációs potenciálja megadja azt a tömegegységre jutó munkát, ami szükséges egy tárgy elmozdításához a gravitációs mezőben a rögzített referenciapontból egy adott pontba. Elektromos mezőben ennek megfelelője az elektromos potenciál, ahol a tömeg szerepét a töltés játssza. A referenciapont, ahol a potenciál nulla, megegyezés szerint végtelenül távol van minden tömegtől, ez pedig negatív potenciált eredményez bármilyen véges távolságon.

A gravitációs potenciál kétdimenziós szeletének ábrája az egységes gömbtestben, és annak környékén. A keresztmetszet inflexiós pontjai a test felületén vannak

A matematikában, a gravitációs potenciált még newtoni potenciálnak is nevezik, kulcsfontosságú szereppel rendelkezik az úgynevezett potenciálteóriában. Ugyanekkor hasznos lehet az egységesesen polarizált ellipszioid testek által generált elektromágneses terek megoldásában.[1]

Potenciális energia[szerkesztés]

A gravitációs potenciál ( V ) egy adott pontban egyenlő egy egységnyi tömeg gravitációs potenciális energiájával ( U ):

ahol m a test tömege. Ha a test tömege 1 kilogramm, akkor a testhez hozzárendelhető potenciális energia megegyezik a gravitációs potenciállal. Tehát a potenciál úgy értelmezhető, mint a gravitációs tér által végzett negatív előjelű munka, amely egy tömegegységnek a végtelenségből való vonzásához szükséges.

Bizonyos helyzetekben az egyenletek egyszerűsíthetők egy olyan helyzet feltételezésével, amely szinte független a távolságtól. Például a Föld felületéhez közeli régióban a gravitációs gyorsulás, g, állandónak tekinthető. Ebben az esetben a potenciális energia különbsége két adott magasság között megközelítőleg egyenesen arányos a magasságok különbségével.

Matematikai alakja[szerkesztés]

Egy M tömegű ponttömegtől x távolságra levő V gravitációs potenciál úgy határozható meg, mint egy W munka, amelyet egy külső ágensnek kell elvégeznie ahhoz, hogy az egységtömeget a végtelenből ebbe a pontba hozzuk:[2][3][4][5]

ahol G a gravitációs állandó, és F a gravitációs erő. A potenciálnak az SI-rendszer szerinti mértékegysége J/kg. Megegyezés szerint a potenciál mindig negatív előjelű, és ha x tart a végtelenbe, akkor megközelíti a nullát.

A gravitációs tér , és így egy kisebb test gyorsulása egy hatalmas test körül, a gravitációs potenciál negatív gradiensét adja meg . Ezért a negatív gradiens negatívja egy pozitív gyorsulást fog megadni, a nagyobb test felé. Mivel a potenciálnak nincsenek szögkomponensei, ezért a gradiense:

ahol x egy x hosszúságú vektor, amely a ponttömegtől a kisebb test felé mutat, és egy egységvektor, amely a ponttömegtől a kisebb test felé mutat. A gyorsulás nagysága az inverz négyzetes törvény szerint tehát:

X és r pontok, ahol r az elosztott tömegben (szürke) található, és a dm (r) elemi tömegváltozás az r pontban található.

A tömegeloszláshoz társuló potenciál lényegében a ponttömegek potenciáljának a szuperpozicióját jelenti. Ha a tömegeloszlás a ponttömegek egy véges gyűjteménye, és ha a ponttömegek az x1, ..., xn pontokban találhatóak, és m1, ..., mn tömegük van, akkor az eloszlás potenciálja a -ben:

Ha a tömeg eloszlása dm tömegként van megadva a három-dimenziós euklideszi térben R 3, akkor a potenciál a konvolúciója a (− G / | r |)-nek dm-mel.[6] Jó esetben ez megegyezik az integrállal

ahol | xr | az x és r pont közötti távolság . Ha van egy ρ (r) függvény ami az eloszlás sűrűségét adja meg r-ben, úgy, hogy dm(r)= ρ(r)dv(r) ahol a dv (r) az euklideszi térfogatelem, akkor a gravitációs potenciál a térfogat integrálja:

Ha V egy potenciális függvény, amely a folytonos ρ ( r ) tömeg eloszlásból származik, akkor ρ kifejezhető a Laplace-operátorral, Δ:

Ez csak akkor érvényes, ha ρ folytonos, és nulla a korlátos halmazon kívül. Általában a dm tömeg mértéke ugyanúgy kifejezhető, mintha a Laplace-operátort eloszlás értelemben vennénk. Következésképpen, a gravitációs potenciál kielégíti Poisson egyenletét .

Az integrál kifejezhető az ismert transzcendentális függvényekkel minden ellipszoid alakzat esetében, beleértve a szimmetrikus alakzatokat, és az "elfajultakat" (degeneráltakat) is.[7] Ezek közé tartozik a gömb is, melynek mindhárom féltengelye egyenlő; a lencseszferoid és az orsószferoid (lásd szferoid), ahol a két féltengely egyenlő; az "elfajultak" (másnéven degeneráltak) is, ahol a féltengely végtelen nagyságú. Mindezeket az alakzatokat gyakran használjuk, mikor a gravitációs potenciál integrálját használjuk fel az elektromágnesseségben (kivéve a G állandót, a 𝜌 pedig egy állandó töltéssűrűség).

Gömbszimmetria[szerkesztés]

A Newton által bizonyított héjtétel alapján egy gömbileg szimmetrikus tömegeloszlás az eloszláson kívül álló megfigyelő szempontjából ugyanúgy viselkedik, mintha a tömeg a középpontba lenne sűrítve, vagyis ponttömegként. A Föld felszínén a gravitációs gyorsulás, g értéke kb. 9.8 m/s2, ám ez az érték kis mértékben változhat a szélességgel, illetve a magassággal. A gyorsulás értéke kicsivel nagyobb a Sarkoknál, mint az Egyenlítőnél, ezt pedig a Föld lencseszferoid természete magyarázza.

Egy gömbileg szimmetrikus tömegeloszláson belül lehetséges a Poisson-egyenlet megoldása gömbi koordinátákban. Egy egységes gömbi testben, melynek R sugara és ρ sűrűsége van, a gömb belsejében levő G gravitációs erő egyenesen arányos a középponttól való r távolsággal, megadván a gravitációs potenciált a gömb belsejében[8]

Általános relativitáselmélet[szerkesztés]

Az általános relativitáselméletben a gravitációs potenciál helyett a metrikus tenzort használják. Ha egy gyenge gravitációs térről van szó, ahol a források nagyon lassan mozognak a fénysebességhez képest, akkor az általános relativitáselmélet visszatér a newtoni gravitációhoz, s ezesetben a metrikus tenzor kibővíthető a gravitációs potenciál függvényében.[9]

Többpólusú bővítés[szerkesztés]

Az x pontban megadott potenciál

A potenciál kibővíthető a Legendre-polinomok sorozatával. Jelöljük az x és r pontokat mint a tömegközéppont helyzetvektorai. A nevezőbeli különbséget kifejezzük úgy, mint a teljes négyzete négyzethgyöke

ahol a θ az x és r által bezárt szög, illetve r = |r|.

Az integrálható függvény kibővíthető mint egy Taylor-sorozat Z = r/|x|-ben. Ugyanahhoz az eredményhez jutunk egy másik módszerrel is, ha alkalmazzuk az általános binomiális tételt.[10] Az eredményben kapott sorozat a Legendre-polinomok generálófüggvénye:

érvényes |X| ≤ 1 és |Z| < 1 esetekre. A Pn együtthatók az n-fokú Legendre-polinomok. Következtetésképpen az integrálandó függvény Taylor együtthatóit a Legendre-polinomok adják meg X =cos θ-ban. Tehát a potenciált kibővíthetjük, mint egy x pontban konvergens sorozat, úgy, hogy r < |x|, bármely tömegelemre egy adott rendszerből:

Az integrál a tömegközéppontjának az x irányba lévő komponense; ez elhanyagolható, mivel az x vektor támadási pontja maga a tömegközéppont. Tehát az integrálnak az összegzés jele alá helyezése ad

Ha olyan esetek hasonlítunk össze, melyekben a távolság a tömegközépponttól ugyanaz, akkor a potenciál kisebb lesz az elnyúlás irányában, a rá merőleges irányban pedig nagyobb. Azokban az esetekben, melyekben ugyanaz a távolság a felszíntől, ellenkező eredményhez jutunk.

Szám szerinti érték[szerkesztés]

A gravitációs potenciál abszolút értéke a Földhöz, a Naphoz, meg a Tejútrendszerhoz viszonyítva, különböző helyeken az alábbi táblázatban van megjelenítve, például egy Föld felszínén található testnek 60 MJ / kg-ra lenne szüksége, hogy elhagyja a Föld gravitációs terét, 900 MJ / kg-ra, hogy elhagyja a Napét, illetve több mint 130 GJ/kg-ra ahhoz, hogy a Tejút gravitációs terét hagyja el.

Elhelyezkedés Földhöz viszonyítva Naphoz viszonyítva Tejútrendszerhez viszonyítva
Föld felszíne 60 MJ/kg 900 MJ/kg ≥ 130 GJ/kg
Alacsony Föld körüli pálya 57 MJ/kg 900 MJ/kg ≥ 130 GJ/kg
Voyager 1 (17,000 millió km a Földtől) 23 J/kg 8 MJ/kg ≥ 130 GJ/kg
0,1 fényévre a Földtől 0.4 J/kg 140 kJ/kg ≥ 130 GJ/kg

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Solivérez, C.E.. Electrostatics and magnetostatics of polarized ellipsoidal bodies: the depolarization tensor method, 1, Free Scientific Information (2016). ISBN 978-987-28304-0-3 
  2. Marion, J.B., Thornton, S.T.. Classical Dynamics of particles and systems, 4, Harcourt Brace & Company, 192. o. [1995]. ISBN 0-03-097302-3 
  3. Mathematical Methods For Physicists International Student Edition, 6, Academic Press, 72. o. (2005). ISBN 978-0-0-08-047069-6 
  4. Sang, David, Jones, Graham; Chadha, Gurinder; Woodside, Richard; Stark, Will; Gill, Aidan. Cambridge International AS and A Level Physics Coursebook. Cambridge University Press, 276. o.. ISBN 978-1-107-69769-0 
  5. Muncaster, Roger. A-level Physics. Nelson Thornes, 106. o. (1993). ISBN 978-0-7487-1584-8 
  6. Vladimirov 1984, §7.8
  7. MacMillan, W.D.. The Theory of the Potential. Dover Press (1958) 
  8. Marion & Thornton 2003, §5.2
  9. Grøn, Øyvind, Hervik, Sigbjorn. Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology. Springer Science & Business Media, 201. o. (2007). ISBN 978-0-387-69200-5 
  10. Wylie, C. R., Jr.. Theorem 2, Section 10.8, Advanced Engineering Mathematics, 2, McGraw-Hill, 454. o. (1960) 

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gravitational potential című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.