Gompertz-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Gompertz-függvény, vagy Gompertz-görbe egy szigmoid függvény. A függvényt Benjamin Gompertz (1779–1865), brit matematikusról nevezték el. A Gompertz-függvény egy matematikai modell, olyan időben zajló folyamatokra, ahol a folyamat kezdete és a vége lassú lecsengésű. A görbe jobb oldali, jövőbeli alakulása jóval fokozatosabb, mint a bal oldali, kezdeti szakaszé, szemben a logisztikai-függvénnyel, mely szintén egy szigmoid függvény, és ahol a görbe aszimptotái szimmetrikusak.

Az ábrákon három Gompertz-görbe látható, ahol az egyik változót megváltoztatják, míg a többi konstans változatlan.

Gompertz-görbe, a változat
Gompertz-görbe, b változat
Gompertz-görbe, c változat

Képlet[szerkesztés]

ahol

  • a a felső aszimptota, mivel
  • b, c negatív számok
  • b beállítja az x eltolást
  • c beállítja a növekedési rátát (x skálázása)
  • e Euler-féle szám (e = 2,71828...)

A Gompertz-függvény a Gompertz-féle mortalitási törvényből eredeztethető, mely azt állítja, hogy a mortalitás (elmúlás, hanyatlás) exponenciálisan viselkedik. Matematikai függvénnyel kifejezve:

ahol

  • a növekedési ráta.
  • k egy tetszőleges konstans

Példák[szerkesztés]

Néhány példa a Gompertz-függvény alkalmazására:

  • Behatárolt populáció esetén, ahol a születési arányok a kezdetben nőnek, majd lelassulnak, ahogy a források elérnek egy korlátot
  • Tumorok növekedésének modellezése
  • Mobil telefonok használatánál, ahol a költségek a kezdetben magasak (a használatba vétel lassú), és ezt követi egy gyors növekedés, majd lassul a használat, és eléri a telítődést.

Tumorok növekedése és a Gompertz-függvény[szerkesztés]

A 60-as években A.K. Laird[1] használta először a Gompertz-függvényt tumorok növekedésének vizsgálatánál. A tumorok behatárolt területeken növekvő sejtpopulációk, ahol a tápanyag korlátozott. Legyen X(t) a tumor mérete, fel lehet írni a következő Gompertz-függvényt:

ahol

  • X(0) a tumor mérete a megfigyelés kezdetén;
  • K a szállító kapacitás, azaz az elérhető maximális méret a rendelkezésre álló tápanyag mellett.

Ekkor:

függetlenül ettől: X(0)>0. Megjegyezzük, hogy terápia hiányában az X(0)<K, miközben terápia mellett, X(0)>K lehet;

A Gompertz-függvény differenciálásakor, könnyű látni az X(t) dinamikáját:

azaz:

ahol F(X) a pillanatnyi sejt burjánzási arány, melynek csökkenő természete a tápanyagért folyó versennyel kapcsolatos, ahogy a populáció nő, hasonlóan a logisztikai növekedési arányhoz. Azonban van egy alapvető különbség: logisztikai esetben, kis sejt populációkra a burjánzási sebesség véges:

míg, a Gompertz esetben a burjánzás korlátok nélküli:

Steel[2] és Wheldon[3] megállapítja, hogy a sejtburjánzási sebesség egy populációban korlátozva van a sejtosztódási idő által. Ily módon ez egy bizonyíték lehet arra, hogy a Gompertz-függvény nem jó modell kis tumorok esetében. Mindezen túl megállapították,[4] hogy az immunrendszert is figyelembe véve, Gompertz- és más törvények, melyekre a korlátlanság F(0) jellemző, kizárhatják az immunrendszer működésének a lehetőségét.

Gompertz-, és a logisztikai növekedés[szerkesztés]

A Gompertz differenciális egyenlet:

ez az általános logisztikai függvény korlátozott esete

ahol egy pozitív valós szám ezért:

.

Ráadásul, az általános logisztikai függvény görbéjén van egy inflekciós pont, amikor

és egy a Gompertz-függvényen, amikor

.

A növekedés Gomp-ex törvénye[szerkesztés]

A fenti megállapításokra alapozva Wheldon[3] javasolt egy matematikai modellt a tumorok növekedésére, melyet Gomp-Ex modellnek nevezett el, kissé különbözik a Gormpertz-törvénytől. A Gomp-Ex modell feltételezi, hogy a kezdetben nincs verseny a forrásokért, így a sejt populációk az exponenciális törvény szerint viselkednek. Azonban van egy kritikus határérték , -re, ahol a növekedés a Gompertz-törvény szerint zajlik:

így:


Néhány numerikus becslés az -re[3]

  • emberi tumorokra
  • egér tumorokra

Irodalom[szerkesztés]

  • Wheldon, T.E: Mathematical Models in Cancer Research. (hely nélkül): Bristol: Adam Hilger. 1988.  
  • d'Onofrio A: A general framework for modeling tumor-immune system competition and immunotherapy: Mathematical analysis and biomedical inferences. (hely nélkül): Physica D. 2005. 220–235. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Laird A. K. (1964.). „Dynamics of tumor growth”. Br J of Cancer 18 (3), 490–502. o. DOI:10.1038/bjc.1964.55.  
  2. Steel, G.G.. Growth Kinetics of Tumors. Oxford: Clarendon Press (1977) 
  3. ^ a b c Wheldon, T.E.. Mathematical Models in Cancer Research. Bristol: Adam hilger (1988) 
  4. d'Onofrio A. (2005.). „A general framework for modeling tumor-immune system competition and immunotherapy: Mathematical analysis and biomedical inferences”. Physica D 208 (3–4), 220–235. o. DOI:10.1016/j.physd.2005.06.032.