Gompertz-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Gompertz-függvény, vagy Gompertz-görbe egy szigmoid függvény. A függvényt Benjamin Gompertz (1779–1865), brit matematikusról nevezték el. A Gompertz-függvény egy matematikai modell, olyan időben zajló folyamatokra, ahol a folyamat kezdete és a vége lassú lecsengésű. A görbe jobb oldali, jövőbeli alakulása jóval fokozatosabb, mint a bal oldali, kezdeti szakaszé, szemben a logisztikai-függvénnyel, mely szintén egy szigmoid függvény, és ahol a görbe aszimptotái szimmetrikusak.

Az ábrákon három Gompertz-görbe látható, ahol az egyik változót megváltoztatják, míg a többi konstans változatlan.

Gompertz-görbe, a változat
Gompertz-görbe, b változat
Gompertz-görbe, c változat

Képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

y(t)=ae^{be^{ct}}

ahol

  • a a felső aszimptota, mivel  ae^{be^{- \infty }}=ae^0=a
  • b, c negatív számok
  • b beállítja az x eltolást
  • c beállítja a növekedési rátát (x skálázása)
  • e Euler-féle szám (e = 2,71828...)

A Gompertz-függvény a Gompertz-féle mortalitási törvényből eredeztethető, mely azt állítja, hogy a mortalitás (elmúlás, hanyatlás) exponenciálisan viselkedik. Matematikai függvénnyel kifejezve:

k^{r} \propto \frac{1}{y(t)}

ahol

  • r=\frac{y'(t)}{y(t)} a növekedési ráta.
  • k egy tetszőleges konstans

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Néhány példa a Gompertz-függvény alkalmazására:

  • Behatárolt populáció esetén, ahol a születési arányok a kezdetben nőnek, majd lelassulnak, ahogy a források elérnek egy korlátot
  • Tumorok növekedésének modellezése
  • Mobil telefonok használatánál, ahol a költségek a kezdetben magasak (a használatba vétel lassú), és ezt követi egy gyors növekedés, majd lassul a használat, és eléri a telítődést.

Tumorok növekedése és a Gompertz-függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 60-as években A.K. Laird [1] használta először a Gompertz-függvényt tumorok növekedésének vizsgálatánál. A tumorok behatárolt területeken növekvő sejtpopulációk, ahol a tápanyag korlátozott. Legyen X(t) a tumor mérete, fel lehet írni a következő Gompertz-függvényt:

 X(t) = K \exp\left( \log\left( \frac{X(0)}{K} \right) \exp\left(-\alpha t \right) \right)

ahol

  • X(0) a tumor mérete a megfigyelés kezdetén;
  • K a szállító kapacitás, azaz az elérhető maximális méret a rendelkezésre álló tápanyag mellett.

Ekkor:

\lim_{t \rightarrow +\infty}X(t)=K

függetlenül ettől: X(0)>0. Megjegyezzük, hogy terápia hiányában az X(0)<K, miközben terápia mellett, X(0)>K lehet;

A Gompertz-függvény differenciálásakor, könnyű látni az X(t) dinamikáját:

 X^{\prime}(t) = \alpha \log\left( \frac{K}{X(t)} \right) X(t)

azaz:

 X^{\prime}(t) = F\left( X(t) \right) X(t), F^{\prime}(X) \le 0

ahol F(X) a pillanatnyi sejt burjánzási arány, melynek csökkenő természete a tápanyagért folyó versennyel kapcsolatos, ahogy a populáció nő, hasonlóan a logisztikai növekedési arányhoz. Azonban van egy alapvető különbség: logisztikai esetben, kis sejt populációkra a burjánzási sebesség véges:

 F(X) = \alpha \left( 1 - \left(\frac{X}{K}\right)^{\nu}\right) \Rightarrow F(0)=\alpha < +\infty

míg, a Gompertz esetben a burjánzás korlátok nélküli:

 \lim_{X \rightarrow 0^{+} } F(X) =  \lim_{X \rightarrow 0^{+} } \alpha \log\left( \frac{K}{X}\right) = +\infty

Steel [2] és Wheldon [3] megállapítja, hogy a sejtburjánzási sebesség egy populációban korlátozva van a sejtosztódási idő által. Ily módon ez egy bizonyíték lehet arra, hogy a Gompertz-függvény nem jó modell kis tumorok esetében. Mindezen túl megállapították,[4] hogy az immunrendszert is figyelembe véve, Gompertz- és más törvények, melyekre a korlátlanság F(0) jellemző, kizárhatják az immunrendszer működésének a lehetőségét.

Gompertz-, és a logisztikai növekedés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Gompertz differenciális egyenlet:

 X^{\prime}(t) = \alpha \log\left( \frac{K}{X(t)} \right) X(t)

ez az általános logisztikai függvény korlátozott esete

 X^{\prime}(t) = \alpha \nu \left( 1 - \left(\frac{X(t)}{K}\right)^{\frac{1}{\nu}} \right) X(t)

ahol \nu > 0 egy pozitív valós szám ezért:

\lim_{\nu \rightarrow +\infty} \nu \left( 1 - x^{1/\nu} \right) = -\log \left( x \right).

Ráadásul, az általános logisztikai függvény görbéjén van egy inflekciós pont, amikor

X(t) = \left( \frac{\nu}{\nu+1} \right)^{\nu} K

és egy a Gompertz-függvényen, amikor

X(t) = \frac{K}{e} = K \cdot \lim_{\nu \rightarrow +\infty} \left( \frac{\nu}{\nu+1} \right)^{\nu} .

A növekedés Gomp-ex törvénye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti megállapításokra alapozva Wheldon [3] javasolt egy matematikai modellt a tumorok növekedésére, melyet Gomp-Ex modellnek nevezett el, kissé különbözik a Gormpertz-törvénytől. A Gomp-Ex modell feltételezi, hogy a kezdetben nincs verseny a forrásokért, így a sejt populációk az exponenciális törvény szerint viselkednek. Azonban van egy kritikus határérték X_{C}, X>X_{C}-re, ahol a növekedés a Gompertz-törvény szerint zajlik:

F(X)=\max\left(a,\alpha \log\left( \frac{K}{X}\right) \right)

így:

X_{C}= K \exp\left(-\frac{a}{\alpha}\right).


Néhány numerikus becslés az X_{C}-re [3]

  • X_{C}\approx 10^9 emberi tumorokra
  • X_{C}\approx 10^6 egér tumorokra

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Wheldon, T.E: Mathematical Models in Cancer Research. (hely nélkül): Bristol: Adam Hilger. 1988. 
  • d'Onofrio A: A general framework for modeling tumor-immune system competition and immunotherapy: Mathematical analysis and biomedical inferences. (hely nélkül): Physica D. 2005. 220–235. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Laird A. K. (1964.). „Dynamics of tumor growth”. Br J of Cancer 18 (3), 490–502. o. DOI:10.1038/bjc.1964.55.  
  2. Steel, G.G.. Growth Kinetics of Tumors. Oxford: Clarendon Press (1977) 
  3. ^ a b c Wheldon, T.E.. Mathematical Models in Cancer Research. Bristol: Adam hilger (1988) 
  4. d'Onofrio A. (2005.). „A general framework for modeling tumor-immune system competition and immunotherapy: Mathematical analysis and biomedical inferences”. Physica D 208 (3–4), 220–235. o. DOI:10.1016/j.physd.2005.06.032.