Galjorkin-módszer

A Galjorkin-módszer a matematikában, a numerikus analízis területén, olyan módszerek csoportja, amely egy folytonos feladatot diszkrét feladattá alakítja át (például egy differenciálegyenlet esetén). Elméletileg egyenértékű egy függvénytéren belül a paraméterek variálási módjának alkalmazásával. Tipikusan az egyik akkor alkalmaz bizonyos korlátokat a függvénytéren belül, ha a tér véges. A Galjorkin-módszer hatékony numerikus megoldást nyújt a differenciálegyenletek megoldásánál és a modális elemzés során.

A megközelítés Borisz Grigorjevics Galjorkin nevéhez fűződik, de a módszert Walther Ritz fedezte fel.

Példák Galjorkin-módszerre:

• a Galjorkin-módszer súlyozott maradéka a leggyakoribb számítási módszere a globális merevségi mátrixnak és véges elem módszernek
• a határelem-módszer az integrált egyenletek esetén
• Krilov-féle iteratív módszerek

Bevezetés absztrakt problémával

A feladat gyenge alakja

Bemutatjuk a Galjorkin-módszert egy absztrakt feladaton, amely gyenge feladatként jelenik meg egy $V$-vel jelölt Hilbert-téren, azaz $u\in V$ és $v\in V,a(u,v)=f(v)$.

Itt az $a(\cdot ,\cdot )$ egy bilineáris forma (pontos követelmények szerint az $a(\cdot ,\cdot )$ később kerül meghatározásra) és az $f$ egy korlátos lineáris funkcionál a $V$ téren.

Dimenziócsökkentés

Választunk egy $V_{n}\subset V$ alrendszert, ami az $n$ dimenziós $V$ térből van, mely megoldja a feladatot: keresünk egy $u_{n}\in V_{n}$-et, amire teljesül, hogy $v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})$.

Ezt Galjorkin-egyenletnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az egyenlet maga változatlan marad, csak a terek változtak meg. Ez a véges dimenziós altérbe való redukció lehetővé teszi az $u_{n}$-nek a $V_{n}$ altér bázisvektorainak véges lineáris kombinációként való numerikus kiszámítását.

Galjorkin-ortogonalitás

A Galjorkin-féle megközelítés kulcsfontosságú tulajdonsága, hogy a hiba ortogonális a kiválasztott alterekre. Mivel $V_{n}\subset V$, használni tudjuk $v_{n}$-t mint tesztvektort az eredeti egyenletben. A két egyenlet egymásból való kivonásával megkapjuk a Galjorkin-féle ortogonalitási relációt az $\epsilon _{n}=u-u_{n}$, ahol $u$ az eredeti feladat, míg az $u_{n}$ a Galjorkin-egyenlet megoldása:

$a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.$

Mátrix formátum

Mivel a Galjorkin-módszer célja a lineáris egyenletrendszerek megoldása, így a mátrix formáját építjük fel, melynek segítségével a megoldást a számítógépes program határozza meg.

Veszünk egy $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}$ bázist a $V_{n}$ vektortérből. Ezután elegendő ezeket a Galjorkin-egyenletek teszteléséhez használni, oly módon hogy $a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.$

Ennek alapján bővítjük $u_{n}$-t, úgy hogy $u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}$ , melyet felhasználva a fenti egyenlet:

$a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.$ lesz.

Ez egy lineáris egyenletrendszer, mely a következőképpen írható: $Au=f$ , ahol $A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).$

A mátrix szimmetriája

A mátrix tulajdonságai alapján a Galjorkin-egyenlet mátrixa is szimmetrikus, akkor és csak is akkor ha a billineáris forma ( $a(\cdot ,\cdot )$) is szimmentrikus.

Galjorkin módszerek elemzése

Itt használjuk a bilineáris formát, vagyis $a(u,v)=a(v,u).$ Ez valójában nem korlátozza a Galjorkin-módszereket, de a standard elmélet alkalmazása egyszerűbbé válik. Ezen kívül a nemszimmetrikus esetekben a Petrov-Galjorkin módszerre lehet szükség.

A módszerek elemzése két lépésben történik:

1. Meg kell mutassuk hogy a Galjorkin-egyenlet Hadamard értelemben egy jól körülhatárolt feladat, ezért egyedülálló megoldást jelent
2. Tanulmányozzuk a Galjorkin-megoldás közelítését

Az elemzés többnyire a billineáris forma két tulajdonságára korlátozódik:

• Határozottság: minden $u,v\in V$ tart az $a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|$-hoz, a C állandón keresztül (C>0)

• Ellipticitás: minden $u\in V$ tart az $u\in V$ -hoz a c állandón keresztül (c>0)

A Lax-Milgram-tétel szerint ez a két feltétel az eredeti feladat jó helyzetét fogalmazza meg. A fent megjelent normákat gyakran energia-normáknak is nevezik.

A Galjorkin-egyenlet pozitivitása

A $V_{n}\subset V$ a bilineáris forma hatására az ellipticitása $V_{n}$. Ezért a Galjorkin-probléma tulajdonképpen az eredeti probléma jól megfogalmazott öröksége.

Legnagyobb közelítés (Céa-Lemma)

Az eredeti hiba és a Galjorkin-megoldás között felírható a következő összefüggés:

$\|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.$

Ez azt jelenti hogy a $C/c$ állandó, és a Galjorkin-megoldás ($u_{n}$) olyan közel áll az eredeti megoldáshoz ($u$), hogy mindkettő a $V_{n}$ belül helyezkedik el.

Próba

Mivel a bizonyítás nagyon egyszerű, az alapelv a Galjorkin-módszerek mögött a bilineáris forma ellipticitásával határolható, vagyis $v_{n}\in V_{n}$:

$c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.$

Elosztva a $c\|u-u_{n}\|$ értékkel, a lehető legkevesebb $v_{n}$ hozza létre a lemmát.

Lásd még

• Ritz-módszer