Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metrika szócikkből átirányítva)

A Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika (FLRW) az Einstein-egyenletek egy egzakt megoldása az általános relativitáselméletben.

Időtől és helytől függően több más néven is nevezték ezt a metrikát a négy független felfedezőjéről; Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson és Arthur Geoffrey Walker – néhány példa: Friedmann–Robertson–Walker- (FRW) vagy Robertson–Walker- (RW) vagy Friedmann–Lemaître-metrika (FL). Ezt az Univerzum megoldást szokás Standard Modellnek is nevezni a kozmológiában.

Az általános metrika[szerkesztés]

Az FLRW metrika homogén és izotrop térből indul ki. Ezeket a feltételeket kielégítő általános metrika az alábbi:

ahol a 3 dimenziós tér általános metrikája, ez lehet, elliptikus, euklideszi, vagy hiperbolikus. nem függ t-től, az időtől való függés kizárólag az a(t) függvényben szerepel, melyet szokás "skála faktornak" vagy "skála függvénynek" nevezni.

Polár koordináták esetén a térszerű rész a következő alakú

hyperbolikus koordináták esetén

ahol

itt k egy dimenziotlan szám, amely lehet {−1,0,+1}.

A k = 0 esetben a tér sík és így a 3 dimenziós rész a következő egyszerű alakú lesz

Ez kiterjeszthető a k ≠ 0 esetre is a következően

,
, és
,

ahol r a radiális koordinátának tekinthető.

A megoldás[szerkesztés]

Az Einstein-egyenletek általános alakja az alábbi

Ha az energia-impulzus tenzorról (hasonlóan a térhez) feltesszük, hogy homogén és izotrop, akkor a következő ún. Friedmann-egyenleteket kapjuk:

itt k az előző részben tárgyalt dimenziótlan állandó {−1,0,+1}.

Megmutatható, hogy az egyenletek ekvivalensen átalakíthatók az alábbi alakba

A kozmológiai konstans[szerkesztés]

A kozmológiai konstans a következő helyettesítéssel kiküszöbölhető

Tehát a kozmológiai állandó magyarázható úgy mint egyfajta energia, amelynek negatív a nyomása (de az energia sűrűsége pozitív):

Az ilyen alakban felírt kozmológiai állandót szokták sötét energiának nevezni.

Ahhoz, hogy a Világegyetem gyorsuló tágulását okozza elég feltenni, hogy

Newtoni közelítés[szerkesztés]

A Friedmann egyenletek newtoni közelítésben az alábbiak


A Világegyetem Einstein sugara[szerkesztés]

A Világegyetem Einstein sugara az a görbületi sugára a térnek amely az Einstein Világa, megoldásban szerepel.

A Friedmann egyenletek esetén az Einstein sugár , ahol a fénysebesség, a Newton-i gravitációs konstans, és a Világegyetem sűrűsége. Az Einstein sugár számértéke 1010 fényév.


További olvasásra[szerkesztés]

Friedman, Alexander (1922), "Über die Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A 10: 377–386, ISSN 0939-7922, DOI 10.1007/BF01332580

Friedmann, Alexander (1924), "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A 21: 326–332, ISSN 0939-7922, DOI 10.1007/BF01328280 English trans. in 'General Relativity and Gravitation' 1999 vol.31, 31–

  • d'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Oxford University Press (1992). ISBN 0-19-859686-3 . (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)

Lemaître, Georges (1931), "Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 91: 483–490, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1931MNRAS..91..483L> translated from Lemaître, Georges (1927), "Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A47: 49–56, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1927ASSB...47...49L>

Lemaître, Georges (1933), "l’Univers en expansion", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A53: 51–85

Robertson, Howard Percy (1935), "Kinematics and world structure", Astrophysical Journal 82: 284–301, doi:10.1086/143681, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1935ApJ....82..284R>

Robertson, Howard Percy (1936), "Kinematics and world structure II", Astrophysical Journal 83: 187–201, doi:10.1086/143716, <http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..187R&>

Robertson, Howard Percy (1936), "Kinematics and world structure III", Astrophysical Journal 83: 257–271, doi:10.1086/143726, <http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..257R&>

Walker, Arthur Geoffrey (1937), "On Milne’s theory of world-structure", Proceedings of the London Mathematical Society 2 42: 90–127, DOI 10.1112/plms/s2-42.1.90

További információk[szerkesztés]