Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metrika szócikkből átirányítva)

A Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika (FLRW) az Einstein-egyenletek egy egzakt megoldása az általános relativitáselméletben.

Időtől és helytől függően több más néven is nevezték ezt a metrikát a négy független felfedezőjéről; Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson és Arthur Geoffrey Walker – néhány példa: Friedmann–Robertson–Walker- (FRW) vagy Robertson–Walker- (RW) vagy Friedmann–Lemaître-metrika (FL). Ezt az Univerzum megoldást szokás Standard Modellnek is nevezni a kozmológiában.

Az általános metrika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az FLRW metrika homogén és izotrop térből indul ki. Ezeket a feltételeket kielégítő általános metrika az alábbi:

- c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2

ahol \mathbf{\Sigma} a 3-dimenziós tér általános metrikája, ez lehet, elliptikus, euklideszi, vagy hiperbolikus. \mathrm{d}\mathbf{\Sigma} nem függ t-től, az időtől való függés kizárólag az a(t) függvényben szerepel, melyet szokás "skála faktornak" vagy "skála függvénynek" nevezni.

Polár koordináták esetén a térszerű rész a következő alakú

\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{ahol } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2.

hyperbolikus koordináták esetén

\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}r^2 + S_k(r)^2 \, \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2

ahol

S_k(r) =
\begin{cases}
\sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), &k > 0 \\
r, &k = 0 \\
\sqrt{|k|}^{\,-1} \sinh (r \sqrt{|k|}), &k < 0.
\end{cases}

itt k egy dimenziotlan szám, amely lehet {−1,0,+1}.

A k = 0 esetben a tér sík és így a 3-dimenziós rész a következő egyszerű alakú lesz

\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.

Ez kiterjeszthető a k ≠ 0 esetre is a következően

 x = r \cos \theta \,,
 y = r \sin \theta \cos \phi \,, és
 z = r \sin \theta \sin \phi \,,

ahol r a radiális koordinátának tekinthető.

A megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Einstein-egyenletek általános alakja az alábbi

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}} T_{\mu\nu}

Ha az energia-impulzus tenzorról (hasonlóan a térhez) feltesszük, hogy homogén és izotrop, akkor a következő ún. Friedmann-egyenleteket kapjuk:

\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{8\pi G}{3}\rho
2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\frac{8\pi G}{c^{2}} p.

itt k az előző részben tárgyalt dimenziótlan állandó {−1,0,+1}.

Megmutatható, hogy az egyenletek ekvivalensen átalakíthatók az alábbi alakba

{\dot \rho} = - 3 \frac{\dot a}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^{2}}\right)
\frac{\ddot a}{a} = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^{2}}\right) + \frac{\Lambda c^{2}}{3}

A kozmológiai konstans[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kozmológiai konstans a következő helyettesítéssel kiküszöbölhető

\rho \rightarrow \rho + \frac{\Lambda c^{2}}{8 \pi G}
p \rightarrow p - \frac{\Lambda c^{4}}{8 \pi G}.

Tehát a kozmológiai állandó magyarázható úgy mint egyfajta energia, amelynek negatív a nyomása (de az energia sűrűsége pozitív):

p = - \rho c^2. \,

Az ilyen alakban felírt kozmológiai állandót szokták sötét energiának nevezni.

Ahhoz, hogy a Világegyetem gyorsuló tágulását okozza elég feltenni, hogy

p < - \frac {\rho c^2} {3}. \,

Newtoni közelítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Friedmann egyenletek newtoni közelítésben az alábbiak

 - a^3 {\dot \rho} = 3 a^2 {\dot a} \rho + \frac{3 a^2 p {\dot a}}{c^2} \,
\frac{{\dot a}^2}{2} - \frac{G \frac{4 \pi a^3}{3} \rho}{a} = - \frac{k c^2}{2} \,.


A Világegyetem Einstein sugara[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Világegyetem Einstein sugara az a görbületi sugára a térnek amely az Einstein Világa, megoldásban szerepel.

\dot{a} = \ddot{a} = 0

A Friedmann egyenletek esetén az Einstein sugár R_E=c/\sqrt {4\pi G\rho}, ahol c a fénysebesség, G a Newton-i gravitációs konstans, és \rho a Világegyetem sűrűsége. Az Einstein sugár számértéke 1010 fényév.


További olvasásra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Friedman, Alexander (1922), "Über die Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A 10: 377–386, ISSN 0939-7922, DOI 10.1007/BF01332580

Friedmann, Alexander (1924), "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A 21: 326–332, ISSN 0939-7922, DOI 10.1007/BF01328280 English trans. in 'General Relativity and Gravitation' 1999 vol.31, 31–

  • d'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Oxford University Press (1992). ISBN 0-19-859686-3 . (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)

Lemaître, Georges (1931), "Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 91: 483–490, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1931MNRAS..91..483L> translated from Lemaître, Georges (1927), "Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A47: 49–56, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1927ASSB...47...49L>

Lemaître, Georges (1933), "l’Univers en expansion", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A53: 51–85

Robertson, Howard Percy (1935), "Kinematics and world structure", Astrophysical Journal 82: 284–301, doi:10.1086/143681, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1935ApJ....82..284R>

Robertson, Howard Percy (1936), "Kinematics and world structure II", Astrophysical Journal 83: 187–201, doi:10.1086/143716, <http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..187R&>

Robertson, Howard Percy (1936), "Kinematics and world structure III", Astrophysical Journal 83: 257–271, doi:10.1086/143726, <http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..257R&>

Walker, Arthur Geoffrey (1937), "On Milne’s theory of world-structure", Proceedings of the London Mathematical Society 2 42: 90–127, DOI 10.1112/plms/s2-42.1.90

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]