Fréchet-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségszámításban és a statisztikában a Fréchet-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete.[1]

Ezt az eloszlást Maurice Fréchet-ről nevezték el, aki 1827-ben publikálta, ehhez kapcsolódó további munkásságot Fisher és Tippett végzett 1928-ban és Gumbel 1958-ban.[2]

A kumulatív eloszlásfüggvény:

ahol α>0 az alakparaméter. Úgy is általánosítható, hogy tartalmazza a helyparamétert (m, minimum) és a skálaparamétert (s>0) a kumulatív eloszlás függvényben:

Karakterisztika[szerkesztés]

Fréchet-eloszlás, Valószínűség sűrűség függvény
Fréchet-eloszlás, Kumulatív eloszlás függvény

A standardizált momentum paraméterel

,

(ahol ) kizárólag esetre

ahol is the Gamma-függvény.

  • -re a várható érték:
  • -re a szórás: .

kvantilis függvényében az eloszlás inverzeként fejezhető ki:

.

A medián:

.

Az eloszlás módusza:

.

A 3 paraméteres Fréchetre, az első kvartilis:

A harmadik kvartilis:

A kvantilisek a középértékre és a móduszra:

Fréchet eloszlás alkalmazása egynapi maximális csapadékra

Alkalmazások[szerkesztés]

A hidrológiában a Fréchet-eloszlást extrém események becslésére használják, mint például az évente egynapi maximális csapadék, vagy folyók áradása. A kék színű kép egy Fréchet eloszlású alkalmazást mutat be az Ománban esedékes maximális egynapi esőzésre, 90% konfidenciaintervallum mellett, a binomiális eloszlásra alapozva. Az esőzés adatai kumulatív frekvenciáit pontok pozíciói reprezentálják, melyek részei a kumulatívfrekvencia-analízisnek. Azonban a legtöbb hidrológiai alkalmazásban, az eloszlás az általánosított extrémérték-eloszláson keresztül működik, mivel ez elkerüli azt a feltételezést, hogy az eloszlásnak nincs felső határa (mint ahogy az a Fréchet-eloszlásban érvényes lenne az éves maximumra).

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés]

  • Ha (Állandó eloszlás)) akkor
  • Ha akkor
  • Ha és akkor
  • A maximum stabilitási posztulátum egyenlet megoldása a Frechet eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.
  • Ha (Weibull-eloszlás) akkor

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • A Frechet eloszlás egy maximum stabil posztulátumnak felel meg
  • Egy Frechet eloszlású negatív valószínűségi változó a minimum stabil posztulátumnak felel meg.[3]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]