Függvények relációalgebrája

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Minthogy a matematika sztenderdnek tekinthető, halmazelméleti felépítésében a függvények speciális relációk, ezért a függvényekre is értelmezhetőek mindazon relációalgebrai tulajdonságok, melyek a relációk vizsgálata, osztályzása során fontossággal bírnak.

Alapvető kérdés, hogy a függvényekkel végzett relációoperációk milyen feltételek mellett őrzik meg a reláció egyértelműségét, azaz függvény voltát. Ezen felül általában problémának számít az, hogy ha egy függvény rendelkezik valamilyen, a relációkalkulus által vizsgálható tulajdonsággal, az hogyan őrződik meg (vagy épp veszik el) a függvénnyel végzett valamilyen relációoperáció során.

Függvények relációalgebrai tulajdonságai[szerkesztés]

Injektív függvény[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy az f :A B függvény injektív, ha különbözőkhöz különbözőket rendel, azaz

vagy másként:

Ekkor még azt is mondjuk, hogy f injekció A-ból B-be, illetve néha, hogy f kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű.

Az injektív tulajdonság az alapja számos egyenlet szokásos megoldási módjának. Például:



nem 1, pozitív a esetén vagy



szintén nem 1, pozitív a esetén.

Az injektív függvények relációinverze szintén függvény (illetve függvényszerű).

Egy f :A B függvény pontosan akkor injektív, ha van balinverze.

Szürjektív függvény[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy az f: A B függvény szürjekció A és B között, vagy ráképez B-re, ha B minden eleme előáll az A halmaz valamely elemének f általi képeként, azaz:

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor még azt is mondják, hogy szürjektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

Röviden mindez azt jelenti, hogy B = Ran(f). Szokás még használni az f:A B ráképez H-ra kijelentést is arra az esetre, ha H ⊆ Ran(f).

Egy f:A B függvénynek pontosan akkor van B A típusú jobbinverze, ha f ráképez B-re.

Bijektív függvény[szerkesztés]

Az f:A B függvényről azt mondjuk, hogy bijekció A-ból B-be, ha injektív és ráképez B-re. Sokszor az ilyen függvényre mondják, hogy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű annak ellenére, hogy az injektív függvényeket is így nevezik.

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor az előbbi esetben még azt is mondják, hogy bijektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

Függvényműveletek[szerkesztés]

Függvényszorzás vagy függvénykompozíció[szerkesztés]

A függvények körében értelmezett művelet az függvénykompozíció, avagy az összetett vagy közvetett függvény képzése. Ha g : A B és f : C D két függvény, akkor ezeknek kompozíciója az a függvény, melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési tartományába képezi és melynek hozzárendelési utasítása:

Itt g-t a kompozíció belső függvényének, az f-et a külső függvényének nevezzük.

Az g : A B és f : C D függvények f o g kompozíciójának értelmezési tartománya tehát:

Néha a kompozíció definíciójában kikötik, hogy ez ne legyen üres, amit biztosíthatunk azzal a megkötéssel, hogy se A, se Ran(g) ∩ C ne legyen üres. Abban a speciális esetben, amikor g értékkészlete része C-nek, a kompozíció a teljes A halmazon értelmezve van, tehát f o g egy A D függvény. Ha ezen kívül B = C és g és f is szürjekció (értsd: g ráképez B-re, f ráképez D-re), akkor f o g is szürjekció.

A függvénykompozíció művelete asszociatív:

Identitásfüggvény[szerkesztés]

Minden H halmaz esetén van egy kitüntetett jelentőségű függvény, mely H-n értelmezett és H-ra képez, az

függvény, melyet a H-n értelmezett identitásfüggvénynek nevezünk. Minden f : A B függvényre

és

Inverz[szerkesztés]

Ha egy f: A B bijekció A és B között (különbözőkhöz különbözőket rendel és ráképez B-re), akkor létezik inverze, azaz egyetlen olyan f−1 függvény, melyre:

és

Itt idA az identitás leképezés, tehát az A A; x x függvény.

Néhány tulajdonság:

feltéve, hogy a fenti egyenlőségek mindkét oldala értelmezett.