Euler-féle differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Euler-féle lineáris differenciálegyenletnek nevezzük a következő egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típust:

(1)

alakú differenciálegyenletet, ahol és állandók.

Ha , akkor az egyenlet homogén. Ennek alakja tehát:

. (2)

Az Euler-féle differenciálegyenlet az előző pontokban megismert módszerekkel is megoldható, ui.

, ill. (3)

helyettesítéssel állandó együtthatójú differenciálegyenletre vezethető vissza. A (3)-ból

és

.

Behelyettesítve például (2)-be, a

,

ill.

állandó együtthatójú differenciálegyenletet kapjuk. Az Euler-féle homogén differenciálegyenlet az

(4)

kísérletező feltevéssel is megoldható. Ekkor

;

behelyettesítve (2)-be és -val egyszerűsítve, a

(5)

karakterisztikus egyenletet kapjuk. Ha (5)-nek két különböző valós gyöke van:

és ,

akkor és

lineárisan függetlenek, ezért alaprendszert alkotnak. Így a homogén differenciálegyenlet általános megoldása:

. (6)

Ha (5)-nek két egybeeső gyöke van, akkor a (3) helyettesítés értelmében , s így − ha -gyel jelöljük a kétszeres gyököt −

és

lesz a két lineárisan független megoldás, aminek

és

felel meg, vagyis az általános megoldás:

. (7)

Ha az (5) egyenletnek konjugált komplex gyöke van, akkor a két lineárisan független megoldás:

és .

Az általános megoldás:

, (8)

amelynek egyszerűbb alakot adhatunk a következő átalakítással:

,

s mivel

,
,

ezért

. (9)