Euklideszi reláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A szaggatott nyíl behúzása szükséges az euklidesziség eléréséhez

Egy kétváltozós relációt akkor nevezünk euklideszi relációnak,[1] ha a relációk mindig egyfajta háromszöget alkotnak; ha egy elem relációban áll két másikkal, akkor azok is (valamilyen irányú) relációban kell álljanak egymással.

Definíció[szerkesztés]

Az halmazon értelmezett reláció euklideszi, ha bármely esetén valahányszor és egyszerre teljesül, mindannyiszor is teljesül.

Általában véve az elsőrendű logika nyelvén:

euklideszi


Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők.

– Eukleidész Elemek, i. m. 47. old.

Példák[szerkesztés]

  • az egyenesek párhuzamossága (mert ha az egyenes párhuzamos az egyenessel, az egyenes pedig párhuzamos a egyenessel, akkor az egyenes szükségszerűen párhuzamos a egyenessel is),
  • családban a (nem fél)testvér-reláció (mert a párhuzamossághoz hasonlóan, bár senki nem testvére magának, az ember testvérei testvérei egymásnak.)

Nem ilyen

  • az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert pl. egy személy fölmenő rokona az unokájának és a lányának is, azonban az unokája nem felmenője a lányának).
  • a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert pl. osztja -et és -ot is, de nem osztja -ot),
  • az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert az ember nem minden ismerőse ismeri egymást).

További példák euklideszi relációkra[szerkesztés]

Viszonya más relációkhoz[szerkesztés]

  • Egy reláció euklideszi tulajdonsága és tranzitivitása bár hasonlónak tűnik, önmagában egyik sem következik a másikból.
  • Egy szimmetrikus reláció már pontosan akkor euklideszi, ha tranzitív.
  • Egy reflexív reláció ha euklideszi is, akkor tranzitív és szimmetrikus is, azaz ekvivalenciareláció.

Jegyzetek és források[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi reláció, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

Források[szerkesztés]

Eukleidész. Elemek, Első könyv 1. axióma. Gondolat (1983)