Erlang-eloszlás

Az Erlang-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás. Az eloszlást Agner Krarup Erlang (1878–1929) dán matematikus fejlesztette ki, amikor azonos időben keletkező telefonhívásokat vizsgált a koppenhágai telefonközpontban. Ez a munka később kiterjedt a várakozási idők vizsgálatára, és ezzel elindult a sorbanállási elmélet kialakulása. Ezt az eloszlást sztochasztikus folyamatok, és biomatematikai problémák elemzésére is használják.

Áttekintés

Az eloszlás folytonos, értéke pozitív minden nullánál nagyobb valós számra, és két paraméterrel szokták jellemezni: az alakparaméterrel ($k$), mely pozitív egész, és a gyakorisággal ($\lambda$), mely szintén pozitív valós szám. Az eloszlást néha az inverz gyakoriság paraméterrel is jellemzik ($\mu$). Az eloszlás $k$ független exponenciális változó összege $\mu$ középértékkel. Ha az alakparaméter $k$ =1, akkor az eloszlás exponenciális eloszlásra egyszerűsödik. Az Erlang-eloszlás a gamma-eloszlás olyan speciális esete, amelynél a $k$ egész szám. A gamma eloszlásnál ez a paraméter nem csak egész lehet.

Jellemzők

Sűrűségfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

Sűrűségfüggvény

$f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{ahol }}x,\lambda \geq 0$

$k$, az alakparaméter, $\lambda$, a gyakoriság paraméter. Egy alternatív, de ekvivalens parametrizálás (gamma-eloszlás) a $\mu$ skálaparamétert használja, mely a gyakoriság paraméter reciproka ($\mu =1/\lambda$):

$f(x;k,\mu )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\mu }}}}{\mu ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{ahol}}x,\mu \geq 0$

Amikor $\mu$=2, akkor az eloszlás khi-négyzet eloszlássá egyszerűsödik 2k szabadságfokkal. Páros számú szabadságfok esetén ez az általános khi-négyzet eloszlás. A nevező faktoriális függvénye miatt az Erlang-eloszlás csak k, pozitív egész értékeire értelmezhető. A gamma-eloszlás kiterjeszti az Erlang-eloszlást k bármely valós értékére, a gamma-függvényt használva a faktoriális helyett.

Kumulatív eloszlásfüggvény

$F(x;k,\lambda )=1-{\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}$

ahol $\gamma ()$ az alsó inkomplett gamma-függvény. A kumulatív eloszlásfüggvény másik kifejezése:

$F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$

Várakozási idők

Átlagos gyakorisággal, függetlenül bekövetkező események a Poisson-folyamattal modellezhetők. k előfordulási gyakoriságú események közötti várakozási idők Erlang-eloszlásúak (egy adott időben előforduló események számát a Poisson-eloszlás írja le). Az Erlang-eloszlás, mely a bejövő hívások közötti időt méri, felhasználható a bejövő hívások várható időtartamának jellemzésére, így információ kapható a forgalmi terhelésről Erlang-egységben mérve. Ez felhasználható a csomagveszteség és késleltetések valószínűségének meghatározására is (Erlang B formula, Erlang C formula). Az Erlang B, és Erlang C formula ma is használatos call centerek forgalmi modellezésénél. Az Erlang B eloszlás felhasználható call centereknél a trönkök tervezésekor. Az Erlang C eloszlás arra használható, hogy a hívásoknak mennyit kell várni, míg kezelővel kerülhetnek kapcsolatba.

Irodalom

• Sundarapandian, V: Queueing Theory. Probability, Statistics and Queueing Theory. (hely nélkül): . PHI Learning. 2009. ISBN 8120338448  

Források

• Egy PDF-fájl adatokkal

Kapcsolódó szócikkek

• M/D/1-típusú sorbanállás
• Pollaczek–Khinchine-formula
• M/G/1-típusú sorbanállás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika