Dirichlet-féle magfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Dirichlet-féle magfüggvény a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet által vizsgált függvénysorozatok egyike. Az analízisben, közelebbről a Fourier-sorok elméletében alkalmazzák.[1]

Dirichlet 1829-ben bizonyította egy periodikus, szakaszonként folytonos és szakaszonként monoton függvény Fourier-sorának konvergenciáját. Ezt a témát még Leonhard Euler vetette fel, és Dirichlet bizonyítása volt az első.

A Dirichlet által talált sorozat fontos szerephez jut ebben a bizonyításban, ahol magfüggvényként szerepel. Ezért nevezik Dirichlet-féle magfüggvénynek.

Definíció[szerkesztés]

Dirichlet-féle magfüggvénynek nevezik a

függvénysorozatot.

Jelentése összefügg a Fourier-sorokkal. A Fourier-sor n-edik közelítő tagja a Dn(x) és az f 2π szerint periodikus függvény konvolúciója.

Példa:

ahol

f k-adik Fourier-együtthatója.

Ebből következik, hogy a Fourier-sorok konvergenciájának vizsgálatához elegendő a Dirichlet-féle magfüggvény tulajdonságait tanulmányozni. Dn L1-normája logaritmikusan tart -be, ha , így vannak folytonos függvények, amik nem állíthatók elő Fourier-sorokkal.[2] Ugyanis

ahol a Landau-féle ordo jelölés.

Kapcsolat a delta-disztribúcióval[szerkesztés]

A periodikus delta-disztribúció egységelem a 2π szerint periodikus függvények konvolúciócsoportjában:

minden 2π szerint periodikus f függvényre.

A Fourier-sort a következő „függvény” reprezentálja:

A trigonometrikus azonosság bizonyítása[szerkesztés]

Adott szerint periodikus függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor

részletösszegeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk -et:

,

ahol

az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.

Mivel

,

ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

A függvény nyilván páros, és így

A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:

Az előző 2 egyenlőség alapján:

speciálisan:

ahol

A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor

,

Források[szerkesztés]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 94. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
  2. W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. 5.11 fejezet, 101. oldal
  • Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. kiadás, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 (teljes verzió (Google Books))