Direkt limesz (kategóriaelmélet)

A matematikában a direkt limesz objektumok irányított rendszerének kategóriaelméleti értelemben vett kolimesze. Először adott algebrai struktúrák (pl. csoportok, modulusok) direkt limeszét definiáljuk, majd teljes általánosságban tetszőleges kategóriában is definiáljuk a direkt limesz fogalmát.

Definíciók

Algebrai objektumok

Ebben a szakaszban objektumaink algebrai struktúrával ellátott halmazok – például csoportok, gyűrűk, adott gyűrű fölötti modulusok, adott test fölötti algebrák, stb. Ennek szellemében „homomorfizmus” alatt mindig a megfelelő algebrai struktúrák közti homomorfizmust értjük, azaz például csoportok esetében csoporthomomorfizmust, gyűrűk esetében gyűrűhomomorfizmust s így tovább.

Először objektumok és homomorfizmusok direkt rendszerét definiáljuk. Ehhez tekintsünk egy $\langle I,\leq \rangle$ irányított halmazt: ez egy $\leq$ részbenrendezéssel ellátott $I\,$ halmaz úgy, hogy $I\,$ bármely két elemének létezik felső korlátja, azaz

$\forall i,j\in I:\,\exists k\in I:\,i\leq k,\,j\leq k$.

Legyen $\{A_{i}:i\in I\}$ algebrai objektumok egy családja, ahol $I\,$ irányított indexhalmaz és minden $i\leq j$-re adott egy $f_{ij}:A_{i}\rightarrow A_{j}$ homomorfizmus az alábbi tulajdonságokkal:

1. $f_{ii}\,$ az $A_{i}\,$ identitása, valamint
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ fennáll minden $i\leq j\leq k$ esetén.

Ekkor az $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ párt $I\,$ fölötti direkt rendszernek nevezzük.

Az $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ direkt rendszer direkt limeszének $A\,$ alaphalmazát az $A_{i}\,$ halmazok diszjunkt uniójának az alábbi $\sim \,$ ekvivalenciareláció szerinti faktoraként definiáljuk:

$A=\varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .$

Itt $x_{i}\in A_{i}$ és $x_{j}\in A_{j}$ ekvivalensek, jelölésben $x_{i}\sim \,x_{j}$, ha van olyan $k\in I$, melyre $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,$. Heurisztikusan két elem akkor és csak akkor esik egybe a direkt limeszben, ha egy idő után a direkt rendszerben is egybeesnek. Az így definiált $A\,$ halmazt ugyanazzal a struktúrával látjuk el, amit a direkt rendszer elemei birtokoltak; a vonetkozó algebrai műveleteket értelemszerűen definiáljuk a reprezentánsokon. Például gyűrűk esetén az összeadás $[x_{i}]+[x_{j}]:=[f_{ik}(x_{i})+f_{jk}(x_{j})]$ lesz.

Ebből a definícióból azonnal adódik, hogy minden $i\in I$ indexre létezik egy $\phi _{i}:A_{i}\rightarrow A$ kanonikus morfizmus, ami minden elemhez az $A\,$-beli ekvivalenciaosztályát rendeli.

Fontos megemlíteni, hogy egy gyűrű feletti modulusok kategóriájában a direkt limesz egzakt funktor.

Direkt rendszer direkt limesze tetszőleges kategóriában

A direkt limeszt tetszőleges ${\mathcal {C}}$ kategóriában is definiálhatjuk egy megfelelő univerzális tulajdonság segítségével. ${\mathcal {C}}$-beli objektumok és morfizmusok direkt rendszere ugyanúgy definiálható, mint fent. Az $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ direkt rendszer direkt limesze az $\langle X,\phi _{i}\rangle$ pár, ahol $X\,\in Ob\,{\mathcal {C}}$, a $\phi _{i}:X_{i}\rightarrow X$ kanonikus morfizmusokkal együtt, melyekre $\phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}$ teljesül minden $i,j\in I\,$ esetén.

Az $\langle X,\phi _{i}\rangle$ pár univerzális abban az értelemben, hogy minden más ugyanezen feltételeknek eleget tevő $\langle Y,\psi _{i}\rangle$ párra egyértelműen létezik egy $u:X\rightarrow Y$ morfizmus, amely az alábbi diagramot minden $i,j\in I\,$-re kommutatívvá teszi:

A direkt limeszt az alábbi módon jelölik:

$X=\varinjlim X_{i}$

ahol a direkt rendszer továbbra is $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$.

Az algebrai objektumok esetével ellentétben nem minden kategóriában létezik direkt limesz. Ha viszont létezik, akkor egyértelmű abban az erős értelemben, hogy ha $X$ és $X*$ is direkt limesze ugyanannak a direkt rendszernek, akkor egyértelműen létezik egy $X*\,\to X\,$ izomorfizmus, ami a kanonikus morfizmusokkal kommutál.

Itt jegyezzük meg, hogy egy ${\mathcal {C}}$ kategóriabeli direkt rendszer funktorokkal is leírható. Tetszőleges $\langle I,\leq \rangle$ irányított halmaz tekinthető ${\mathcal {I}}$ kis kategóriának, ahol a morfizmusok az $i\rightarrow j$ nyilakból állnak: $i\rightarrow j$ akkor és csak akkor, ha $i\leq j$. A direkt rendszer nem más, mint egy ${\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ kovariáns funktor.

Általános definíció

Legyenek ${\mathcal {I}}$ és ${\mathcal {C}}$ kategóriák. Jelölje $c_{X}:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ az $X\in Ob{\mathcal {C}}$-be menő konstans funktort. Tetszőleges $F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ funktorhoz definiáljuk a

$\lim _{\longrightarrow }F:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set}$

funktort, amely minden $X\in Ob{\mathcal {C}}$ objektumhoz a $F\to c_{X}$ természetes transzformációk $\mathrm {Hom} (F,c_{X})$ halmazát rendeli. Ha $\lim _{\longrightarrow }F$ reprezentálható, akkor a ${\mathcal {C}}$-beli reprezentáns objektumot F direkt limeszének nevezzük és szintén $\lim _{\longrightarrow }F$-fel jelöljük.

Legyen a ${\mathcal {C}}$ kategória Abel, ahol objektumok tetszőleges (akár végtelen) direktösszege létezik (ez az AB3 Grothedieck axióma ). Ekkor a $\lim _{\longrightarrow }F$ funktor reprezentálható minden $F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ funktorra és

$\lim _{\longrightarrow }:\mathrm {Hom} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})\rightarrow {\mathcal {C}},F\mapsto \lim _{\longrightarrow }F$

Abel kategóriák közti jobbegzakt funktor.

Példák

• Egy M halmaz $M_{i}$ részhalmazainak egy családján a tartalmazás részbenrendezés. Direkt limesze az unió: $\bigcup M_{i}$.
• Let I be tetszőleges irányított halmaz, amelynek van legnagyobb eleme, legyen ez m. Ekkor a megfelelő direkt rendszer direkt limesze izomorf X_m-mel, a φ_m: X_m → X kanonikus morfizmus izomorfizmus.
• Legyen p prímszám. Tekintsük a Z/pⁿZ csoportok és a p-vel való szorzás által indukált Z/pⁿZ → Z/pⁿ⁺¹Z homomorfizmusok direkt rendszerét. Ennek a rendszernek a direkt limesze az összes p-hatvány rendű egységgyök által alkotott Z(p^∞) csoport.
• A direkt limesz és az inverz limesz kapcsolata:

$\mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).$

• Tekintsük az {A_n, φ_n} sorozatot, ahol A_n C*-algebra és φ_n : A_n → A_{n + 1} *-homomorfizmus. A direkt limesz konstrukciójának C*-analogonja a fenti univerzális tulajdonságot kielégítő C*-algebra.

Kapcsolódó konstrukciók és általánosítások

A direkt limesz kategóriaelméleti értelemben vett duálisa az inverz limesz. Általánosabb kategóriaelméleti fogalmak a limesz és a kolimesz. Az elnevezések megtévesztők lehetnek: a direkt limesz kolimesz, míg az inverz limesz limesz.

Hivatkozások

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from the French, Paris: Hermann, MR0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, vol. 5 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag