Dickson-sejtés

A számelmélet területén a Dickson-sejtés Dickson (1904) állítása, miszerint a₁ + b₁n, a₂ + b₂n, ..., a_k + b_kn lineáris formák véges halmazát tekintve, ahol b_i ≥ 1, végtelen sok olyan pozitív egész n létezik, ami prímszám, kivéve ha egy kongruencia-feltétel ezt megakadályozza (Ribenboim 1996, 6.I). A k = 1 eset a Dirichlet-tétel.

Másik két speciális eset is ismert: végtelen sok ikerprím létezik (n és 2 + n prímszámok), illetve végtelen sok Sophie Germain-prím létezik (n és 1 + 2n prímszámok).

Dickson sejtését a Schinzel H-sejtése terjeszti ki.

Általánosított Dickson-sejtés

Vegyünk n polinomot (n bármely természetes szám), melyek kielégítik a Bunyakovszkij-sejtést és bármely p prímre létezik olyan x egész szám, hogy az n polinomok értékei x helyen nem oszthatók p-vel! Ekkor végtelen sok olyan pozitív egész x létezik, melyre az n polinomok x helyen vett értékei prímszámok. Például, ha a sejtés igaz, akkor végtelen sok olyan x létezik, melyre x² + 1, 3x - 1 és x² + x + 41 egyszerre prímszámok. Ha minden polinom elsőfokú, az eredeti Dickson-sejtést kapjuk vissza.

Az általánosított Dickson-sejtés ekvivalens az általánosított Bunyakovszkij-sejtéssel.

Kapcsolódó szócikkek

• Prímhármasok
• Green–Tao-tétel
• Prím n-es
• Prímek számtani sorozata

Irodalom

• Dickson, L. E. (1904), "A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers", Messenger of mathematics 33: 155–161, <https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155>
• Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prime number records, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94457-9, <https://books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC>