Csoporthomomorfizmus

A matematikában, pontosabban a csoportelméletben a csoporthomomorfizmus olyan leképezés, mely a csoportstruktúrával kompatibilis. A matematika olyan területein, ahol olyan csoportokat vizsgálnak, amelyek további struktúrával vannak ellátva, a homomorfizmus gyakran olyan leképezést jelent, amely ezt a további struktúrát is megőrzi. Például, a topologikus csoportok homomorfizmusairól gyakran felteszik, hogy folytonosak.

Definíció

Legyenek $(G,*)$ és $(H,\cdot )$ csoportok. Egy $\varphi :G\to H$ leképezést csoporthomomorfizmusnak hívunk, ha bármely $g_{1},g_{2}\in G$-re teljesül

$\varphi (g_{1}*g_{2})=\varphi (g_{1})\cdot \varphi (g_{2}),$

ahol az egyenlet bal oldalán a $G$, jobb oldalán pedig a $H$ csoportművelete szerepel.

A definíció következményei

Ha $(G,*)$ neutrális eleme $e$, akkor $H$ neutrális eleme $\varphi (e)$. Ennek bizonyítására legyen $e_{H}$ $(H,\cdot )$ neutrális eleme. A neutrális elem és a csoporthomomorfizmus definíciójából következik, hogy

$e_{H}\cdot \varphi (e)=\varphi (e)=\varphi (e*e)=\varphi (e)\cdot \varphi (e).$

Ebből következik, hogy $\varphi (e)=e_{H}$.

Egy csoporthomomorfizmus a neutrális elemen kívül bármely elem inverzét is megtartja: bármely $g\in G$-re teljesül $\varphi (g^{-1})=(\varphi (g))^{-1}$. Ezt hasonlóan lehet bizonyítani:

$\varphi (g^{-1})\cdot \varphi (g)=\varphi (g^{-1}*g)=\varphi (e)=e_{H}.$

Ha ${\tilde {G}}$ részcsoportja $G$-nek, akkor $\varphi ({\tilde {G}})$ részcsoportja $H$-nak: mivel a részcsoport definíciója szerint $e\in {\tilde {G}}$, ezért $e_{H}=\varphi (e)\in \varphi ({\tilde {G}})$. A csoporthomomorfizmus definíciójából pedig következik, hogy bármely $h_{1},h_{2}\in \varphi ({\tilde {G}})$-re teljesül, hogy $h_{1}\cdot h_{2}^{-1}$ is $\varphi ({\tilde {G}})$ eleme, tehát $\varphi ({\tilde {G}})$ részcsoportja $H$-nak.

Hasonló módon bizonyítható, hogy ha ${\tilde {H}}$ részcsoportja $H$-nak, akkor $\varphi ^{-1}({\tilde {H}})=\{g\in G|\varphi (g)\in {\tilde {H}}\}$ részcsoportja $G$-nek. Továbbá, ha ${\tilde {H}}$ normálosztója $H$-nak, akkor $\varphi ^{-1}({\tilde {H}})$ normálosztója $G$-nek.

Típusai

• Monomorfizmus: injektív homomorfizmus
• Epimorfizmus: szürjektív homomorfizmus
• Izomorfizmus: olyan homomorfizmus, amely egyszerre injektív és szürjektív, tehát bijektív. Egy csoportizomorfizmus inverze is csoportizomorfizmus. Ha $G$ és $H$ csoportok, $\varphi :G\to H$ csoportizomorfizmus, akkor $G$-t és $H$-t izomorfnak hívjuk. Ebben az esetben $G$ és $H$ elemei a neutrális elemet kivéve kizárólag jelölésükben különböznek.
• Endomorfizmus: olyan homomorfizmus, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is ugyanaz a csoport. Egy $\varphi :G\to G$ csoporthomomorfizmust $G$ endomorfizmusának hívjuk.
• Automorfizmus: olyan csoportendomorfizmus, amely bijektív, tehát csoportizomorfizmus is. Egy adott $G$ csoport automorfizmusainak halmaza a függvénykompozíció műveletével szintén csoportot alkot, ezt $G$ automorfizmus-csoportjának hívjuk, jelölése $\operatorname {Aut} (G)$.

Mag és kép

Adott $\varphi :G\to H$ csoporthomomorfizmus magja alatt értjük $G$ olyan elemeit, amelyeket a homomorfizmus $H$ neutrális elemébe képez le:

$\operatorname {ker} (\varphi )=\{g\in G|\varphi (g)=e_{H}\},$

a homomorfizmus képe pedig

$\operatorname {im} (\varphi )=\varphi (G)=\{\varphi (g)|g\in G\}.$

Az első izomorfizmustétel kimondja, hogy $\operatorname {ker} (\varphi )$ normálosztója $G$-nek, és $\operatorname {im} (\varphi )$ izomorf a $G/\operatorname {ker} (\varphi )$ faktorcsoporthoz.

A csoporthomomorfizmus $\varphi$ akkor és csak akkor injektív, (tehát csoportmonomorfizmus) ha $\operatorname {ker} (\varphi )=\{e_{G}\}$.

Példák

• Legyen $(\mathbb {Z} ,+)$ az egész számok csoportja, $(H,\cdot )$ egy tetszőleges csoport és $h\in H$. A leképezés ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \to H,\,\varphi (n)=h^{n}} egy csoporthomomorfizmus, ugyanis

$\varphi (m+n)=h^{m+n}=h^{m}\cdot h^{n}=\varphi (m)\cdot \varphi (n).$

Ha $H$ egy ciklikus csoport, melynek generátora $h$, rendje pedig $n$, akkor $\operatorname {ker} (\varphi )=n\mathbb {Z}$ és $\mathbb {Z} /\operatorname {ker} (\varphi )=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong H$.

• Legyen $G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )$ az invertálható $2\times 2$-es valós mátrixok csoportja a mátrixszorzás műveletével. A determináns definíciójának segítségével létrehozható egy csoporthomomorfizmus ${\displaystyle \varphi$ :\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} \setminus \{0\},\,A\mapsto \operatorname {det} (A)} , ugyanis $\operatorname {det} (AB)=\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (B)$.

Abel-csoportok homomorfizmusai

Legyen $G$ egy tetszőleges csoport, $H$ pedig egy Abel-csoport. A $G$ és $H$ közötti csoporthomomorfizmusok halmazát jelöljük $\operatorname {Hom} (G,H)$-val, mely önmaga is egy Abel-csoport a „pontbeli” összeadás műveletével:

$(\varphi _{1}+\varphi _{2})(g)=\varphi _{1}(g)+\varphi _{2}(g)\quad \forall g\in G.$

A homomorfizmusok összeadása a következőképpen kompatibilis a függvénykompozícióval: ha $\varphi _{1}\in \operatorname {Hom} (K,G)$, $\varphi _{2},\varphi _{3}\in \operatorname {Hom} (G,H)$, és $\varphi _{4}\in \operatorname {Hom} (H,L)$, akkor

$(\varphi _{2}+\varphi _{3})\circ \varphi _{1}=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1})+(\varphi _{3}\circ \varphi _{1})\quad$ és $\quad \varphi _{4}\circ (\varphi _{2}+\varphi _{3})=(\varphi _{4}\circ \varphi _{2})+(\varphi _{4}\circ \varphi _{3}).$

Mivel a kompozíció asszociatív, egy adott $G$ Abel-csoport endomorfizmusainak halmaza egy gyűrűt alkot, ezt $G$ endomorfizmusgyűrűjének hívjuk.

Kategóriaelméletben

A $\operatorname {Grp}$ olyan kategória, melynek objektumai csoportok, morfizmusai pedig csoporthomomorfizmusok. A definíciót lehetővé teszi, hogy a csoporthomomorfizmusok kompozíciója egy asszociatív művelet, továbbá $\varphi _{1}:G\to H$ és $\varphi _{2}:H\to K$ csoporthomomorfizmusokra teljesül, hogy $\varphi _{2}\circ \varphi _{1}:G\to K$ is egy csoporthomomorfizmus. A véges csoportok kategóriája $\operatorname {FinGrp}$ teljes részkategóriája $\operatorname {Grp}$-nek.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Group homomorphism című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Thomas W. Judson (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications. University of Puget Sound. ISBN 139781944325022. {{cite book}}: Check |isbn= value: length (súgó)
• Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3 ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.{{cite book}}: CS1 karbantartás: több név: szerzőfelsorolás (link)