Csúsztatva tükrözés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Síkbeli csúsztatva tükrözés szemléltetése.

A geometriában a csúsztatva tükrözés az egybevágósági transzformációk egy fajtája. A síkban egy tengelyes tükrözés és egy eltolás szorzata; a térben egy síkra tükrözés és egy eltolás szorzata. Általában, a legalább kétdimenziós V vektortérben egy altérre való tükrözés és egy eltolás szorzata. Mindezek a transzformációk választhatók úgy, hogy a tükrözés tengelye és az eltolásvektor párhuzamosak legyenek. A tükrözések speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthetőek, ahol az eltolásvektor a nullvektor.

Szerepe a diszkrét geometriában, a parkettázások és a kristályok szimmetriáinak osztályozásában, valamint a frízcsoportok vizsgálatában fontos. A járás szimmetriája is csúsztatva tükrözés. Mindezek mellett még az életjátékokban is megjelenik.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • a síkbeli csúsztatva tükrözés három tengelyes tükrözés szorzataként, ahol a három tengely háromszöget zár közre
  • általában három altérre vett tükrözés szorzataként kapható meg
  • a tükrözés és az eltolás felcserélhető
  • nincsenek fixpontjai
  • egyetlen invariáns alakzata a párhuzamos felbontás tengelye
  • a körüljárási irányt megfordítja
  • egy csúsztatva tükrözés négyzete eltolás: ugyanis az első tényezőben az eltolást, a másodikban a tükrözést előrevéve a kétszeri tükrözés identitást ad, így csak az eltolás marad

Tércsoportok[szerkesztés]

A diszkrét tércsoportokban csak olyan transzformációk lehetnek, amik összeegyeztethetőek a megfelelő kristályráccsal. Mivel a csúsztatva tükrözés négyzete eltolás, ezért csak a táblázatban leírt csúsztatva tükrözések lehetnek egy tércsoport elemei:

Leírás A tükörsíkra merőleges irány Eltolásvektor Hermann-Mauguin-szimbólum
Tengelyirányú tükrözési sík [010]; [001] a
b

c


Átlós irányú tükrözési sík n
Tetraéderes tükrözési sík d

Egyszerűen bizonyítható, hogy mindezek a csúsztatva tükrözések eleget tesznek a négyzetükkel szemben támasztott követelményeknek. A tetraéderes csúsztatva tükrözések csak a lapközepes ortotrombikus, a térközepes tetragonális és a lapközepes bravaisrácsok szimmetriái között jelennek meg. Itt a centráltságról is tartalmaznak információt, ami négyzetre emeléssel kinyerhető; ugyanis az így kapott eltolásvektor már közvetlenül mutatja a centráltságot.

Életjáték[szerkesztés]

A csúsztatva tükrözés a járás szimmetriája. A Conway-féle életjátékban is sok szerkezet mozog csúsztatva tükrözéssel. A glider, a LWSS, az MWSS és az HWSS minden második lépésben önmaga csúsztatott tükörképévé válik. Íme egy kis űrhajó:

o . . o . . .
. . . . o . .
o . . . o . .
. o o o o . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . o o . .
. o o . o o .
. o o o o . .
. . o o . . .
. . . . . . .
. . o o o o .
. o . . . o .
. . . . . o .
. o . . o . .
. . . o o . .
. . o o o o .
. . o o . o o
. . . . o o .
. . . . . . .

Források[szerkesztés]