Csúsztatva tükrözés

A geometriában a csúsztatva tükrözés az egybevágósági transzformációk egy fajtája. A síkban egy tengelyes tükrözés és egy eltolás szorzata; a térben egy síkra tükrözés és egy eltolás szorzata. Általában, a legalább kétdimenziós V vektortérben egy altérre való tükrözés és egy eltolás szorzata. Mindezek a transzformációk választhatók úgy, hogy a tükrözés tengelye és az eltolásvektor párhuzamosak legyenek. A tükrözések speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthetőek, ahol az eltolásvektor a nullvektor.

Szerepe a diszkrét geometriában, a parkettázások és a kristályok szimmetriáinak osztályozásában, valamint a frízcsoportok vizsgálatában fontos. A járás szimmetriája is csúsztatva tükrözés. Mindezek mellett még az életjátékokban is megjelenik.

Tulajdonságai

a síkbeli csúsztatva tükrözés három tengelyes tükrözés szorzataként, ahol a három tengely háromszöget zár közre
általában három altérre vett tükrözés szorzataként kapható meg
a tükrözés és az eltolás felcserélhető
nincsenek fixpontjai
egyetlen invariáns alakzata a párhuzamos felbontás tengelye
a körüljárási irányt megfordítja
egy csúsztatva tükrözés négyzete eltolás: ugyanis az első tényezőben az eltolást, a másodikban a tükrözést előrevéve a kétszeri tükrözés identitást ad, így csak az eltolás marad

Tércsoportok

A diszkrét tércsoportokban csak olyan transzformációk lehetnek, amik összeegyeztethetőek a megfelelő kristályráccsal. Mivel a csúsztatva tükrözés négyzete eltolás, ezért csak a táblázatban leírt csúsztatva tükrözések lehetnek egy tércsoport elemei:

Leírás	A tükörsíkra merőleges irány	Eltolásvektor	Hermann-Mauguin-szimbólum
Tengelyirányú tükrözési sík	[010]; [001]	${\frac {1}{2}}{\vec {a}}$	a
	$[001];[100]$	${\frac {1}{2}}{\vec {b}}$	b
	$[100];[010]$	${\frac {1}{2}}{\vec {c}}$	c
	$[1{\bar {1}}0];[110]$
	$[100];[010];[{\bar {1}}{\bar {1}}0]$
	$[1{\bar {1}}0];[120];[{\bar {2}}{\bar {1}}0]$
Átlós irányú tükrözési sík	$[001];[100];[010]$	${\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {b}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {c}})$	n
	$[1{\bar {1}}0];[01{\bar {1}}];[{\bar {1}}01]$	${\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}})$
	$[110];[011];[101]$	${\frac {1}{2}}(-{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {a}}-{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {b}}-{\vec {c}})$
Tetraéderes tükrözési sík	$[001];[100];[010]$	${\frac {1}{4}}(-{\vec {a}}\pm {\vec {b}})\,;\,{\frac {1}{4}}({\vec {b}}\pm {\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}(\pm {\vec {a}}+{\vec {c}})$	d
	$[1{\bar {1}}0];[01{\bar {1}}];[{\bar {1}}01]$	${\frac {1}{4}}({\vec {a}}+{\vec {b}}\pm {\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}(\pm {\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}({\vec {a}}\pm {\vec {b}}+{\vec {c}})$
	$[110];[011];[101]$	${\frac {1}{4}}(-{\vec {a}}+{\vec {b}}\pm {\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}(\pm {\vec {a}}-{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}({\vec {a}}\pm {\vec {b}}+-{\vec {c}})$

Egyszerűen bizonyítható, hogy mindezek a csúsztatva tükrözések eleget tesznek a négyzetükkel szemben támasztott követelményeknek. A tetraéderes csúsztatva tükrözések csak a lapközepes ortotrombikus, a térközepes tetragonális és a lapközepes bravaisrácsok szimmetriái között jelennek meg. Itt a centráltságról is tartalmaznak információt, ami négyzetre emeléssel kinyerhető; ugyanis az így kapott eltolásvektor már közvetlenül mutatja a centráltságot.

Életjáték

A csúsztatva tükrözés a járás szimmetriája. A Conway-féle életjátékban is sok szerkezet mozog csúsztatva tükrözéssel. A glider, a LWSS, az MWSS és az HWSS minden második lépésben önmaga csúsztatott tükörképévé válik. Íme egy kis űrhajó:

o	.	.	o	.	.	.
.	.	.	.	o	.	.
o	.	.	.	o	.	.
.	o	o	o	o	.	.
.	.	.	.	.	.	.

.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	o	o	.	.
.	o	o	.	o	o	.
.	o	o	o	o	.	.
.	.	o	o	.	.	.

.	.	.	.	.	.	.
.	.	o	o	o	o	.
.	o	.	.	.	o	.
.	.	.	.	.	o	.
.	o	.	.	o	.	.

.	.	.	o	o	.	.
.	.	o	o	o	o	.
.	.	o	o	.	o	o
.	.	.	.	o	o	.
.	.	.	.	.	.	.

Források

Schwarzenbach D. Kristallographie, Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
https://web.archive.org/web/20160304093420/http://zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/Fejezetek_geombol3.pdf
Matematika és geometria az építészetben