Császár-féle test

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Császár-féle test geometriai test, nemkonvex poliéder.

Császár-féle test
Animációs film a Császár-féle test forgatásáról és síkba terítéséről.
Lapok 14 háromszög
Élek 21
Csúcsok 7
Euler-karakterisztika 0
Génusz 1
Duális poliédere Szilassi-poliéder
Konvexitás Nem konvex

Topológiailag a tórusszal homeomorf, azaz gyurmából elkészített modelljét vágás és ragasztás nélkül gyűrűvé lehet átformálni (szemben például a tetraéderrel, amivel ezt nem lehet megtenni). 14 háromszög határolja. Átlói nincsenek, minden pár csúcs egy élben érintkezik egymással. A tetraéderen és a Császár-féle testen kívül nem ismert olyan poliéder, amelynek nincsenek átlói. A Császár-féle test a Szilassi-poliéder duális poliédere. Nevét felfedezőjéről, Császár Ákosról kapta.

Átlómentes testek[szerkesztés]

Ha egy c csúcsszámú, l lapszámú, e élszámú poliédert beültetünk egy h lyukú felületbe olyan módon, hogy minden csúcspárt egy éllel kötünk össze, az Euler-féle poliédertétel általánosításának () átalakítása után azt kapjuk, hogy

.

Az egyenletet a tetraéder h = 0 és c = 4 értékekkel elégíti ki, a Császár-féle test pedig h = 1 és c = 7-tel. A következő lehetséges megoldás, a h = 6 és c = 12, ami egy 44 lapú, 66 éllel rendelkező test lenne, amiről nem tudjuk, létezik-e valójában. Általánosabban, az egyenletet kielégítő megoldások esetében a c 0, 3, 4, vagy 7 maradékot ad 12-vel osztva.

Története[szerkesztés]

A Császár-féle test felfedezéséhez egy 1948-as középiskolai matematikai versenyfeladat vezetett. A feladat így szólt: „Bizonyítandó, hogy a tetraéderen kívül nincs más olyan konvex poliéder, amelynek bármely két csúcsát él köti össze.” Császár, aki akkor az ELTE tanársegédje volt, elgondolkodott azon, hogy a konvexitási feltételt elhagyva adódik-e más átló nélküli poliéder.[1] A verseny után röviddel megmutatta,[2] hogy a tetraéderen kívül van még egy olyan poliéder, amely kielégíti a feladat feltételeit, és ez a Császár-féle test.[3]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Természet Világa. www.termeszetvilaga.hu. (Hozzáférés: 2023. december 15.)
  2. Császár, A. (1949). „A polyhedron without diagonals”. Acta Sci. Math. Szeged 13, 140–142. o.  
  3. Szilassi Lajos: A Császár-poliéder'. [2005. március 21-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. április 26.)

Források[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]