Cochran-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A statisztikában a Cochran-tételt a valószínűség-eloszlásokkal kapcsolatos eredmények igazolására használják a szórásnégyzet analízisnél.[1][2] A tételt William G. Cochran (1909–1980) amerikai-skót statisztikus dolgozta ki.[3]

Állítás[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy U1, ..., Un független normális eloszlású valószínűségi változók, és felírható a

alak, ahol minden Qi, U lineáris kombinációinak négyzetösszegei. Továbbá tegyük fel, hogy

ahol ri, Qi rangja. Cochran tétele azt állítja, hogy Qi-k függetlenek, és minden egyes Qi- khi-négyzet eloszlású, ri szabadságfokkal. Itt Qi rangját úgy kell értelmezni, mint egy B(i) mátrix dimenzióját, Qi négyzetes ábrázolásában:

Kevésbé formálisan, ez a lineáris kombinációk száma, mely tartalmazza a Qi-t meghatározó négyzetek összegét, feltéve, hogy a lineáris kombinációk lineárisan függetlenek.

Példák[szerkesztés]

Minta középérték és minta szórásnégyzet[szerkesztés]

Ha X1, ..., Xn > független normális eloszlású valószínűségi változók, μ középértékkel, és σ szórással, akkor

minden egyes i-e standard normális. Írhatjuk:

(itt az összegzés 1-től n-ig tart, a teljes megfigyelési tartományban) -tel megszorozva:

és kiterjesztve

A harmadik tag zéró, mert konstans idővel egyenlő

a második tag n azonos tag összege. Így:

és ezért

Q2 rangja 1, Q1 rangja n-1, és így a Cochran-tétel feltételei teljesültek. A Cochran-tétel állítja, hogy Q2 és Q1 függetlenek, khi-négyzet eloszlással, és n-1, és 1 szabadságfokokkal. Ez mutatja, hogy a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

Ez a Basu-tételből is következik, és ez a tulajdonság a normális eloszlásra jellemző, nincs más eloszlás, ahol a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

Eloszlások[szerkesztés]

Az eloszlásokra szimbolikusan a következők írhatók:

Mindkét valószínűségi változó arányos az igazi, de ismeretlen σ2 szórásnégyzettel. Így arányuk nem függ σ2-től, és mivel statisztikusan függetlenek, az arányuk eloszlása:

ahol F1,n − 1 az F-eloszlás 1 és d n − 1 szabadságfokkal (lásd Student T-eloszlás). Itt a végső lépés, a valószínűségi változó meghatározása, melynek F-eloszlása van.

Szórásnégyzet becslése[szerkesztés]

Cochran-tétel szerint:

és a khi-négyzet eloszlás tulajdonságából következően, a várható  : σ2(n − 1)/n.

Irodalom[szerkesztés]

  • Cochran, W. G: "The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance". (hely nélkül): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2). 1934.  
  • Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models (Second ed.). (hely nélkül): Springer. 1934. ISBN 9780387988719  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Bapat, R. B.. Linear Algebra and Linear Models, Second, Springer (2000). ISBN 9780387988719 
  2. http://www.staff.u-szeged.hu/~rajko/oktatas/matstat/index.html
  3. Cochran, W. G. (1934. April). „The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2), 178–191. o. DOI:10.1017/S0305004100016595.