Chvátal-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Chvátal-tétel egy 1972-es gráfelméleti tétel, amely nagyjából azt állítja, hogy ha egy gráfnak elegendően sok éle van, akkor van benne Hamilton-kör. A tétel így szól: Legyenek csúcsú egyszerű gráf fokszámai nagyság szerint .

  • Ha teljesül a következő feltétel:
    (+) -ra, amelyre teljesül, hogy
    akkor tartalmaz Hamilton-kört.
  • Ha olyan pozitív egész számok, amikre (+) nem teljesül, akkor létezik olyan Hamilton-kört nem tartalmazó gráf, melynek fokszámaira -re .

Bizonyítás:

  • A bizonyítás az Ore-tétel bizonyításával azonosan indul:
Tegyük fel indirekt, hogy a gráf kielégíti a feltételt, de nincsen benne Hamilton-kör. Ez az ellenpélda gráfunk legyen . Húzzunk be -be további éleket úgy, hogy az új gráf is ellenpélda legyen (továbbra sincs benne Hamilton-kör). Így kapunk egy gráfot, ami továbbra is ellenpélda, hisz új élek behúzásával "rossz pontpárt" nem lehet létrehozni, de ha még egy élet akárhogyan behúzunk, akkor már tartalmaz a gráf Hamilton-kört. Biztosan van két olyan pont, hogy , hiszen egy csúcsú teljes gráfban ( esetén) van Hamilton-kör. Ekkor viszont a gráfban van Hamilton-kör, tehát -ben van Hamilton-út. Azaz bármely két összekötetlen csúcsa között van Hamilton-út, hisz a két csúcs összekötésével Hamilton-kör keletkezne. ( esetén is van Hamilton-út, esetén pedig a gráfunk egy izolált pont, nincs éle, nincs benne Hamilton-kör). Legyenek a P Hamilton-út csúcsai: , és és . Ha szomszédos a P út valamely pontjával, akkor nem lehet összekötve -gyel, mert ez esetben () egy Hamilton-kör lenne. Így tehát nem lehet összekötve legalább darab ponttal, ezért
Azaz -ben bármely két összekötetlen -re .
Most jön az, ami már különbözik az Ore-tétel bizonyításához képest. Válasszuk meg -t úgy, hogy és maximális legyen az összes összekötetlen csúcspár közül. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy . Így az előbbiekből következik, hogy . Bevezetünk egy új jelölést: . Megmutatjuk, hogy -ra . Az előbb már láttuk, hogy , elég tehát az első egyenlőtlenséget belátnunk. Az első egyenlőtlenség jelentése pedig az, hogy -nek van legalább olyan csúcsa, amelyeknek a fokszámai külön-külön legfeljebb . Tehát a -adik legkisebb fokú csúcs fokszáma nem lehet -nál nagyobb. Ezt akarjuk most belátni, hogy ez teljesül -ben. Ehhez tekintsük minden szomszédjához az és közötti Hamilton-út mentén őt megelőzőt. Láttuk, hogy ezek egyike sem lehet összekötve -nal, mert különben lenne -ben Hamilton-kör. Ezek szerint viszont ezen összesen darab ilyen csúcs bármelyikét választhattuk volna párjául a tekintett Hamilton-út kezdőpontjának, és ha bármelyiknek a fokszáma nagyobb volna az fokszámánál, akkor a maximalizálásánál őt választottuk volna. De -et választottuk, ezért biztos, hogy ezen darab csúcs egyikének sem nagyobb a fokszáma fokszámánál, vagyis -nál. Azaz megkaptuk, hogy tényleg létezik -ben legalább csúcs, melyeknek fokszáma nem nagyobb -nál.
A feltételben szereplő helyébe -t írva a fentiekből azt kapjuk, hogy . Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy legalább csúcs fokszáma legalább . Mivel azonban -nek darab szomszédja van, így az előbb említett csúcs között biztos van olyan, ami -szel nincs összekötve. Így találtunk két összekötetlen csúcsot, és ezek fokszámösszege legalább , ami viszont ellentmond az Ore-tétel bizonyításában látottaknak (hisz ott azt kaptuk, hogy bármely két összekötetlen csúcsra (, ). Ez az ellentmondás bizonyítja az állítást.
  • Tegyük fel, hogy (+) nem teljesül valamely pozitív egészekre (pozitív kell, hiszen ha valamely csúcs foka , akkor a gráf nem összefüggő, viszont tudjuk, hogy az összefüggőség szükséges feltétele a Hamilton-kör létezésének). Ez azt jelenti, hogy , amire egyrészt , másrészt pedig . Ebből viszont a következő három összefüggés következik:
Vagyis a
sorozatra teljesül, hogy -re . Ha tehát mutatunk egy olyan gráfot, amelynek fokszámai , és nincsen Hamilton-köre, akkor készen vagyunk.
A következő gráf éppen ilyen. Az -elemű csúcshalmazt osszuk fel három részre: -ra, -re és -re, ahol és . A halmazban levő csúcsokat kössük össze egymással (mindegyiket mindegyikkel). Így ezek a csúcsok meghatározzák egy teljes csúcsú feszített részgráfját. Ez után kössük össze mindegyik -beli csúcsot mindegyik -belivel, és csak ezek az élek legyenek a gráfban. Így megadtuk a gráfot, könnyen ellenőrizhető, hogy fokszámai teljesítik az elmondottakat: minden -bel csúcs foka , a -belieké , a -belieké pedig . Már csak azt kell megmutatnunk, hogy -nek nincs Hamilton-köre. Ez pedig abból látható, hogy a -beli pontokat elhagyva a gráfból, a gráf komponensre esik szét: az -beli pontokból izolált pont lesz, a -edik komponens pedig a -n megmaradó teljes gráf. Fontos, hogy a biztosan nem üres halmaz, hisz , ami a feltétel miatt biztosan pozitív. -ben tehát nem teljesül a Hamilton-kör létezésére tanult szükséges feltétel, így biztos, hogy nincs Hamilton-köre.

Megjegyzés: A Hamilton-kör létezésére vonatkozó elégséges tételek közül ez a legerősebb tétel.