A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Ceva-tétel a háromszögekben található szakaszokkal tesz fontos állítást. A tétellel a magasságtétel, szögfelező-tétel vagy az oldalafelezőkre vonatkozó tétel könnyen bizonyítható. A tételt eredetileg Giovanni Ceva olasz matematikus tette közzé 1678-ban.[1]
Az
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
D
{\displaystyle AD}
B
E
{\displaystyle BE}
C
F
{\displaystyle CF}
O
{\displaystyle O}
A
F
F
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
Ceva-tétel Használjuk a Menelaosz-tételt az
A
B
E
{\displaystyle ABE}
A
F
F
B
⋅
B
O
O
E
⋅
E
C
C
A
=
−
1
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BO}{OE}}\cdot {\frac {EC}{CA}}=-1}
Majd ugyanezt a
B
C
E
{\displaystyle BCE}
B
D
D
C
⋅
C
A
A
E
⋅
E
O
O
B
=
−
1
{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CA}{AE}}\cdot {\frac {EO}{OB}}=-1}
Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet:
A
F
F
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
Megjegyzés (trigonometrikus Céva-tétel) A tétel eredeti formában nehezebb feladatoknál igen nehézkesen alkalmazható. Ezért a szinusztétel segítségével felírhatjuk trigonometrikus alakban is: az
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
D
{\displaystyle AD}
B
E
{\displaystyle BE}
C
F
{\displaystyle CF}
sin
D
A
C
∢
sin
D
A
B
∢
⋅
sin
E
B
A
∢
sin
E
B
C
∢
⋅
sin
F
C
B
∢
sin
F
C
A
∢
=
1
{\displaystyle {\frac {\sin DAC\sphericalangle }{\sin DAB\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin EBA\sphericalangle }{\sin EBC\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin FCB\sphericalangle }{\sin FCA\sphericalangle }}=1}
Használjuk fel azt a tételt, miszerint az egyenlő magasaságú háromszögek területe arányos az alapjaikkal. Ekkor
B
D
D
C
=
t
A
B
D
t
A
D
C
=
t
O
B
D
t
O
D
C
=
t
A
B
D
−
t
O
B
D
t
A
D
C
−
t
O
D
C
=
t
A
B
O
t
C
A
O
{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {t_{ABD}}{t_{ADC}}}={\frac {t_{OBD}}{t_{ODC}}}={\frac {t_{ABD}-t_{OBD}}{t_{ADC}-t_{ODC}}}={\frac {t_{ABO}}{t_{CAO}}}}
Hasonlóan kapjuk, hogy
C
E
E
A
=
t
B
C
O
t
A
B
O
A
F
F
B
=
t
C
A
O
t
B
C
O
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {CE}{EA}}&={\frac {t_{BCO}}{t_{ABO}}}\\{\frac {AF}{FB}}&={\frac {t_{CAO}}{t_{BCO}}}\end{aligned}}.}
A fenti arányokat összeszorozva kapjuk a tétel állítását:
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
⋅
A
F
F
B
=
t
A
B
O
t
C
A
O
⋅
t
B
C
O
t
A
B
O
⋅
t
C
A
O
t
B
C
O
=
1.
{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}={\frac {t_{ABO}}{t_{CAO}}}\cdot {\frac {t_{BCO}}{t_{ABO}}}\cdot {\frac {t_{CAO}}{t_{BCO}}}=1.}
[1]
↑ a b
Coxeter, H. S. M., S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria , (ford. Merza József), Budapest: Gondolat [1967] (1977)
