Catalan-álprímek

A matematika, illetve a számelmélet területen az n páratlan összetett természetes szám akkor Catalan-álprím vagy Catalan-pszeudoprím, ha n teljesíti a következő kongruenciát:

$(-1)^{\frac {n-1}{2}}\cdot C_{\frac {n-1}{2}}\equiv 2{\pmod {n}},$

ahol C_m az m-edik Catalan-számot jelöli. A kongruencia igaz minden páratlan n prímszámra is, ami érthetővé teszi, hogy az n összetett számokat miért nevezik álprímeknek.

Tulajdonságaik

Eddig mindössze három Catalan-álprím ismeretes: 5907, 1194649 és 12327121 (A163209 sorozat az OEIS-ben), melyek közül a két utóbbi szám Wieferich-prím négyzete. Általában is igaz, hogy ha p Wieferich-prím, akkor p² Catalan-féle pszeudoprím.

Jegyzetek

• (2008) „Catalan numbers, primes and twin primes”. Elemente der Mathematik 63 (4), 153–164. o. DOI:10.4171/EM/103.  
• Catalan pseudoprimes. Research in Scientific Computing in Undergraduate Education.