Castigliano-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Castigliano-tétel a szilárdságtan egyik munkatétele, amely rúdszerkezetek igénybevétele esetén alkalmazható. A Castigliano-tétel mellett a szilárdságtan másik munkatétele a Betti-tétel.

A tétel kimondása és alkalmazása[szerkesztés]

A tétel kimondása[szerkesztés]

Egy külső erőkből és erőpárokból, valamint a reakcióerőkből álló erőrendszer hatására Pi pont elmozdul Pi'-be. fi a pont Fi erő irányába eső elmozdulása. (A szerkezet statikailag határozott.)

A Castigliano-tétel kimondja, hogy az alakváltozási energiának a szerkezetet terhelő valamely koncentrált erő szerinti parciális deriváltja megadja az erő támadáspontjának az erő irányába eső elmozdulását. Rúdszerkezetek esetén ez általánosítható erőpárokra is; az alakváltozási energiának a szerkezetet terhelő valamely koncentrált erőpár szerinti parciális deriváltja megadja a keresztmetszet erőpár tengelye körüli szögelfordulását.

Képletekkel:

ahol:

  • és - koncentrált erő ill. erőpár
  • - az koncentrált erő támadáspontjának elmozdulása
  • - az koncentrált erőpár támadáspontjának szögelfordulása
  • - az alakváltozási energia-függvény

A tétel alkalmazásának feltétele[szerkesztés]

Fontos, hogy a Castigliano-tétel csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált szerkezet statikailag határozott. Ez azt jelenti, hogy a reakció-erőrendszer (és így az alakváltozási energia is) kifejezhető az aktív erők függvényeként:

U = U(aktív erőrendszer)

A tétel alkalmazása rúdszerkezetekre[szerkesztés]

A Castigliano-tételt használhatjuk a fent említett módon keresztmetszetek elmozdulásának és szögelfordulásának meghatározására. Ezenkívül statikailag határozatlan szerkezetek esetén a reakcióerők kiszámításában nyújt segítséget, ugyanis a tételt kényszerfeltételekként írhatjuk fel. (Például előre látható, hogy egy befogott keresztmetszet sem elfordulni, sem elmozdulni nem fog az alakváltozás során, illetve egy csuklós befogás keresztmetszete nem fog elmozdulni, csak elfordulni.) A kényszerfeltételeket matematikai formában a fenti egyenletek írják le, így kellő számú független egyenletet kaphatunk ahhoz, hogy a reakcióerőket kiszámítsuk.

Az alakváltozási energia képletét felhasználva, rúd hajlítása és csavarása esetén:

ahol:

  • - a hajlítónyomatéki függvény
  • - a csavarónyomatéki függvény
  • az integrál a rúd teljes hosszára vonatkozik

Irodalom[szerkesztés]

  • Elter Pálné: Szilárdságtan példatár

Külső hivatkozások[szerkesztés]