Cantor-féle közösrész-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Cantor-féle közösrész-tétel az analízis egyik igen fontos tétele. Általában a valós számok halmazában szokás kimondani, de természetesen vannak általánosításai is. Alapvetően a valós számok halmazának szerkezetéről tesz egy igen fontos észrevételt, ennek megfelelően pedig nem csak tételként, de más irányú felépítést választva akár axiómaként is hivatkozhatunk rá.

A tételnek igen sokrétű alkalmazásai vannak, többek között az analízis egy másik központi jelentőségű tételének, a Bolzano–Weierstrass-tételnek a bizonyításában is szerepet játszik.

Állítás[szerkesztés]

Magát a tételt sok formában lehet kimondani, a szemlélettől függően.

Halmazrendszerek[szerkesztés]

Legyen R-beli korlátos, zárt és nemüres halmazok rendszere. Ha ez lefelé irányított, azaz minden α, β indexek esetén van olyan γ index, hogy , akkor a halmazrendszer metszete nem üres. Másképpen:

Intervallumok[szerkesztés]

Ha adott olyan zárt intervallumok halmaza, amelyek alsó határa monoton növekvő, felső határa monoton csökkenő sorozat,[1] akkor ezek közös része nem üres. Röviden mondva egymásba skatulyázott intervallumoknak van közös pontja. Ennek a tételnek különösen a numerikus matematikában, egészen pontosan a gyökközelítő eljárásokban van jelentős szerepe. Másképpen:

Metrikus terekben[szerkesztés]

Egy metrikus tér nemüres, kompakt halmazai lefelé irányított rendszerének metszete sem üres.

Bizonyítás[szerkesztés]

A tételt az állító részének szemlélete szerint többféleképpen is bizonyíthatjuk.

Halmazrendszerek[szerkesztés]

A valós számok teljes rendezettsége következtében vehetjük a rendszer bármely halmazának a pontos felső korlátját, azaz

A lefelé irányítottság, azaz

miatt a belső halmaz korlátjai a két tartalmazó halmaz korlátjai között van:

Ez pedig azt jelenti, hogy a halmazrendszer szuprémumainak halmaza alulról korlátos. Ezt nem nehéz belátni, ugyanis bármely rögzített index esetén az így kiválasztott halmaz infimuma alsó korlátja lesz a halmaznak az egyenlőtlenségek alapján. Sőt, ennél még több is mondható - mégpedig, hogy a halmaz infimuma a teljes rendszer közös részének eleme, azaz

Rögzítsük ugyanis egy tetszőleges indexű tagját a rendszernek, és mutassuk meg, hogy a fenti λ érték ennek eleme. Sőt, mivel a rendszer minden tagja zárt, ezért elegendő azt megmutatni, hogy eleme a kiválasztott tag lezártjának. Válasszunk hát egy tetszőleges valós számot, és igazoljuk, hogy a kiválasztott tag nem diszjunkt a λ körüli r sugarú nyílt gömbbel, azaz

A valós számok körében a nyílt gömbök a nyílt halmazok, azaz

Mivel , már nem lehet alsó korlátja a halmaznak, ezért van olyan index, hogy . Mivel a rendszer lefelé irányított, van olyan tagja, ami az és halmaznak is része, azaz

Ekkor

amiből következik, hogy van olyan elem, hogy . Erre vonatkozólag megállapíthatjuk, hogy

és a lefelé irányítottság miatt , ami szerint

Mivel a rögzített elemere nem tettünk semmilyen kikötést, ez a rendszer bármely tagjára igaz, így ebből már következik, hogy a teljes rendszer metszete sem üres, amit pedig bizonyítani akartunk.[2]

Intervallumok[szerkesztés]

A feltételekből következik, hogy

Másrészt az

egyenlőtlenségből következik, hogy az sorozat felülről korlátos.

A valós számok teljesen rendezettségéből következik, hogy létezik a szám. Erre érvényes az egyenlőtlenség is, hiszen a feltétel értelmében minden szám is felső korlát. Ebből következik, hogy

és eszerint, az intervallumok definíciója alapján

Metrikus terekben[szerkesztés]

A lefelé irányítottság következménye, hogy az halmazrendszer minden részrendszerének közös része tartalmaz a rendszerből egy elemet:

Rögzítsünk egy indexet. Ekkor vehetjük azt az halmazrendszert, amire

Ez nyílt halmazrendszer lesz.

Most indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy a metszet üres. Ekkor

Ez egy nyílt befedése a kompakt halmaznak, ezért a kompaktság definíciója szerint van a fedőrendszernek véges részbefedése:

Eszerint pedig

Ennek következtében a

nemüres, véges halmazhoz van olyan index, amelyhez tartozó halmaz a rendszerben üres:

ami nem lehet, mert a feltevés szerint a rendszer nemüres halmazokból áll.

Megjegyzések[szerkesztés]

  1. Vegyük észre, hogy R az euklideszi metrikával metrikus tér, valamint a zárt halmazok a Borel-Lebesgue lefedési tétel alapján kompaktak, ezért a metrikus terekben érvényes forma egyben tartalmazza a valós számokra vonatkozó állítást.
  2. Az egymásba skatulyázott intervallumok egyben lefelé irányított halmazrendszert is alkotnak, ezért a valós számokra vonatkozó tételnek egy speciális esetét alkotják.
  3. A tétel a halmazelméletben bizonyítható, azonban létezik a valós számoknak olyan felépítése is, ahol ez axióma. Ebben az esetben természetesen nem bizonyítjuk, ellenben bizonyítható belőle a bizonyításban kihasznált, a kiválasztási axiómával ekvivalens jólrendezési tétel.
  4. A tétel a valós számok egyik fontos tulajdonságát, a halmaz folytonosságát jellemzi.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. A két sorozat eszerint nem "keresztezheti egymást, amint a pontos matematikai alakban megfogalmazást nyer.
  2. A tételben lényeges, hogy a halmazok korlátosak és zártak, valamint a teljes rendszer lefelé irányított.

Források[szerkesztés]

  • Kristóf János: Az analízis elemei, 1994, ELTE Budapest, egyetemi tankönyv
  • Rimán János: Matematikai analízis, 1998, EKTF Líceum kiadó, ISBN 963 7752 55 2