Brun-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Brun-konstans szócikkből átirányítva)
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A Brun-konstans megközelítése.

Brun tétele, miszerint az ikerprímek (olyan prímpár, melyek különbsége 2) reciprokösszege egy Brun-konstans néven ismert (B2-tal jelölt) véges értékhez konvergál. A tételt Viggo Brun bizonyította be 1919-ben, és jelentős fontossággal bír a szitaeljárások terén.

Aszimptotikus korlátok az ikerprímekre[szerkesztés]

Az ikerprímek reciprokösszegének konvergenciája az ikerprímek sorozatának sűrűségéből következik.

Jelölje az olyan px prímek számát, melyre p + 2 is prím (azaz a legfeljebb x értékű ikerprímek száma). Ekkor x ≥ 3 esetén:

Így az ikerprímek a prímeknél kevésbé (majdnem egy logaritmikus taggal) sűrűek. Ebből a korlátból következik, miszerint az ikerprímek reciprokösszege konvergens. Magyarán a

összeg vagy véges sok tagot tartalmaz, vagy pedig ugyan végtelen, de konvergens, értéke pedig a Brun-konstans.

A tényből, hogy a prímek reciprokösszege divergens, következik, hogy a prímek száma végtelen. Viszont abból, hogy az ikerprímeké konvergens, nem vonható le következtetés az ikerprímek számának végességéről/végtelenségéről. A Brun-konstans akkor lehet irracionális, ha végtelen sok ikerprím van.

Becslések[szerkesztés]

Az ikerprímek 1014-ig történő kiszámolása alapján (és mindeközben a Pentium FDIV bug felfedezésével) Thomas R. Nicely a Brun-konstans értékét 1,902160578-re becsülte.[1] Később, 2010 januárjára 1,6·1015-ig számolta ki az értékét, ám ez nem a legnagyobb, ugyanis 2002-ben Pascal Sebah és Partich Demiched 1016-ig történő számolással a B2≈1,902160583104 értéket becsülte, a 1016-ig levő 1,830484424658 érték extrapolálásával. Dominic Klyve pedig bebizonyította, hogy ha a bővített Riemann-sejtés igaz, akkor B<2,1754.

A Brun-konstans jegyeit használták egy 1 902 160 540 dolláros ajánlatban a Nortel szabványainak aukcióján. Ezt a Google licitálta, és egyike volt a három, matematikai konstans alapú licitjének.[2]

Létezik egy Brun-konstans prímnégyesekre is. A prímnégyes két ikerprím-párosból áll, amelyek között 4 (a lehető legkisebb) a különbség. Az első néhány prímnégyes: (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). A prímnégyeseken értett Brun-konstans, aminek jelölése B4, az összes prímnégyes reciprokösszegével egyezik meg:

melynek értéke:

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Ez a konstans nem összetévesztendő a prím unokatestvérekre számolt Brun-konstanssal, ami a (p, p + 4) alakban megadható prím-párosok reciprokösszege, és szintén B4-nek jelölik.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Nicely, Thomas R.: Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant. Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory), 2010. január 18. [2013. december 8-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. február 16.)
  2. Damouni, Nadia: Dealtalk: Google bid "pi" for Nortel patents and lost. Reuters, 2011. július 1. [2013. november 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. július 6.)

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Brun's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.