Brun–Titchmarsh-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az analitikus számelmélet területén a Viggo Brun és Edward Charles Titchmarsh matematikusokról elnevezett Brun–Titchmarsh-tétel vagy Brun–Titchmarsh-féle egyenlőtlenség felső korlátot ad a prímszámok számtani sorozatbeli eloszlására. Kimondja, hogy ha a p prímszámokat számolja meg, melyek kongruensek a-val modulo q úgy, hogy p ≤ x, akkor

minden q < x-re. A tételt a szitamódszer segítséggel Montgomery és Vaughan igazolta; Brun és Titchmarsh csak az egyenlőtlenség egy gyengébb változatát tudta bizonyítani, ahol még egy szorzó tényező is szerepel.

Ha q viszonylag kicsi, pl. , létezik jobb felső korlát is:

Ezt Y. Motohashi (1973) határozta meg. A Selberg-szita hibatagjának általa felfedezett bilineáris struktúráját használta fel ehhez. Később az ötletét, hogy a szita hibájának struktúráját érdemes felhasználni, az analitikus számelmélet fontos módszerévé fejlesztették, H. Iwaniec kombinatorikus szitához való kiegészítésének köszönhetően.

Ezzel ellentétben, Dirichlet tétele aszimptotikus eredményt ad, ami így fejezhető ki:

de ez csak korlátozottabban érvényesül: q < (log x)c konstans c-re: ez a Siegel–Walfisz-tétel.

Jegyzetek[szerkesztés]