Bernoulli-teszt

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Bernoulli-teszt egy kísérlet, melynek kimenetele véletlenszerű, és két lehetséges kimenetele van: a siker és a kudarc.

A Bernoulli-teszt matematikai megfogalmazása a Bernoulli-processz. A gyakorlatban ez egy egyszeri kísérlet, melynek két lehetséges kimenetele lehet.

Az események megválaszolhatók “igen“ vagy “nem“ válasszal.

Például:

  • a feldobott érme fejjel felfelé esik le a földre?
  • az újszülött gyermek lány lesz?

Az érme esetében a siker a ‘fej’, kudarc az ‘írás’. Egy szabályos érme esetén a valószínűség 50%.

Egy kockadobásnál a siker a “hatos”, és minden más ‘kudarc’.

Definíció[szerkesztés]

Egy kísérlet egymástól függetlenül ismételt tesztjeinek eredményét Bernoulli-tesztnek nevezik. Nevezzük a teszt egyik eredményét ‘siker’nek, a másikat “kudarc”nak. Legyen a Bernoulli-teszt sikeres kimenetelének a valószínűsége. Ekkor a kudarc () valószínűsége:

.

A Bernoulli-teszt valószínűségi változóit - konvenció szerint – a következőképpen jelölik: 1=”siker” 0=”kudarc” A Bernoulli-teszthez szorosan kapcsolódik a binomiális-kísérlet, mely egy rögzített számú (), statisztikailag egymástól független Bernoulli-tesztet tartalmaz, mindegyiknél a siker valószínűsége , és számolják a ‘siker’ek számát. Ha egy valószínűségi változó a binomiálisnak felel meg, jelölése , binomiális eloszlás szerint változik.

A kísérletnél a siker valószínűsége:

.

A Bernoulii-teszt elvezethet a negatív binomiális eloszláshoz (ahol a sikerek számát egymásutáni Bernoulli-tesztek során számolják, egy meghatározott számú kudarcig), hasonlóan más eloszlásokéhoz.

Ha többszörös Bernoulli-tesztet végzünk, mind a saját ‘siker’ valószínűségével, akkor ezt néha Poisson-tesztnek is hívják.[1]

Példa: pénzfeldobás[szerkesztés]

Tekintsünk egy egyszerű kísérletet, ahol egy szabályos érmét négyszer dobunk fel.

Számoljuk ki azt a valószínűséget, amikor a négy dobásból pontosan kettő lesz fej.

Megoldás[szerkesztés]

A kísérletünkben legyen a fej a ‘siker’, és az írás a ‘kudarc’. Mivel feltételeztük, hogy az érme szabályos, a ‘siker’ valószínűsége . Így a ‘kudarc’ valószínűsége:

.

A fenti egyenlőségeket használva, annak a valószínűsége, hogy négy dobásból kettő pontosan fej lesz:

.

Irodalom[szerkesztés]

  • Rajeev Motwani and P. Raghavan: Randomized Algorithms. (hely nélkül): Cambridge University Press, NY. 1995. 67–68. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Rajeev Motwani and P. Raghavan. Randomized Algorithms. Cambridge University Press, New York (NY), 1995, p.67-68