Bernoulli-teszt

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Bernoulli-teszt egy kísérlet, melynek kimenetele véletlenszerű, és két lehetséges kimenetele van: a siker és a kudarc.

A Bernoulli-teszt matematikai megfogalmazása a Bernoulli-processz. A gyakorlatban ez egy egyszeri kísérlet, melynek két lehetséges kimenetele lehet.

Az események megválaszolhatók „igen” vagy „nem” válasszal.

Például:

• a feldobott érme fejjel felfelé esik le a földre?
• az újszülött gyermek lány lesz?

Az érme esetében a siker a „fej”, kudarc az „írás”. Egy szabályos érme esetén a valószínűség 50%.

Egy kockadobásnál a siker például a “hatos”, és minden más ‘kudarc’.

Definíció

Egy kísérlet egymástól függetlenül ismételt tesztjeinek eredményét Bernoulli-tesztnek nevezik. Nevezzük a teszt egyik eredményét ‘siker’nek, a másikat “kudarc”nak. Legyen $p$ a Bernoulli-teszt sikeres kimenetelének a valószínűsége. Ekkor a kudarc ($q$) valószínűsége:

$q=1-p$.

A Bernoulli-teszt valószínűségi változóit - konvenció szerint – a következőképpen jelölik: 1=”siker” 0=”kudarc” A Bernoulli-teszthez szorosan kapcsolódik a binomiális-kísérlet, mely egy rögzített számú ($n$), statisztikailag egymástól független Bernoulli-tesztet tartalmaz, mindegyiknél a siker valószínűsége $p$, és számolják a ‘siker’ek számát. Ha egy valószínűségi változó a binomiálisnak felel meg, jelölése $B(n,p)$, binomiális eloszlás szerint változik.

A $B(n,p)$ kísérletnél $k$ a siker valószínűsége:

$P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}$.

A Bernoulii-teszt elvezethet a negatív binomiális eloszláshoz (ahol a sikerek számát egymásutáni Bernoulli-tesztek során számolják, egy meghatározott számú kudarcig), hasonlóan más eloszlásokéhoz.

Ha többszörös Bernoulli-tesztet végzünk, mind a saját ‘siker’ valószínűségével, akkor ezt néha Poisson-tesztnek is hívják.

Példa: pénzfeldobás

Tekintsünk egy egyszerű kísérletet, ahol egy szabályos érmét négyszer dobunk fel.

Számoljuk ki azt a valószínűséget, amikor a négy dobásból pontosan kettő lesz fej.

Megoldás

A kísérletünkben legyen a fej a „siker”, és az írás a „kudarc”. Mivel feltételeztük, hogy az érme szabályos és a feldobáskor is váltogatjuk a pozícióját, a „siker” valószínűsége $p=1/2$. Így a ‘kudarc’ valószínűsége:

$q=1-p=1-1/2=1/2$.

A fenti egyenlőségeket használva, annak a valószínűsége, hogy négy dobásból kettő pontosan fej lesz:

${\begin{aligned}P(2)&={4 \choose 2}p^{2}q^{2}\\&=6\times (1/2)^{2}\times (1/2)^{2}\\&=3/8\end{aligned}}$.

Források

• Weisstein, Eric W.: Bernoulli Trial (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Rajeev Motwani and P. Raghavan: Randomized Algorithms. (hely nélkül): Cambridge University Press, NY. 1995. 67–68. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Sűrűségfüggvény
• Bernoulli-eloszlás
• Binomiális eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Poisson-féle mintavétel
• Mintavétel tervezés
• Bernoulli-féle mintavétel
• Bernoulli-séma
• Jacob Bernoulli
• Poisson-teszt