Bernoulli-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Bernoulli-egyenlőtlenség egy esetének ábrázolása. Itt pirossal, pedig kék színnel van ábrázolva és

A Jakob Bernoulli svájci matematikusról[1] elnevezett Bernoulli-egyenlőtlenség a matematikai analízis egyik fontos tétele, amely szerint bármely valós szám és természetes szám esetén

Egyszerű, de fontos egyenlőtlenség, amivel egy hatványfüggvény alulról becsülhető.

A tétel bizonyítása[szerkesztés]

A bizonyítás teljes indukcióval végezhető:[2] -re nyilván egyenlőség áll és ha az állítás igaz -re, akkor

ami a szorzás elvégzése után

Egyenlőség nyilván csak az , vagy esetben teljesül.

Megjegyzés:

A Bernoulli-egyenlőtlenségnél gyengébb állítást sokkal körülményesebb teljes indukcióval bizonyítani.

Nemnegatív h-ra az egyenlőtlenség megkapható a binomiális tétel segítségével:

Rokon egyenlőtlenségek[szerkesztés]

Szigorú egyenlőtlenség[szerkesztés]

Ugyanígy nevezik Bernoulli-egyenlőtlenségnek a szigorú egyenlőtlenséget megkövetelő változatot is: Minden valós -re és -ra és minden természetes számra

.

A bizonyítás ugyanúgy végezhető teljes indukcióval, mint a nem szigorú változat.[1]

Valós kitevős hatványok[szerkesztés]

Valós kitevőkre a deriváltak összehasonlításával az egyenlőtlenség a következőképpen általánosítható: Minden -re

, ha , és
, ha .

Különböző tényezők[szerkesztés]

Ha nem hatványt veszünk, hanem különböző tényezők szorzatát, akkor teljes indukcióval megmutatható, hogy

ahol minden -re vagy , vagy teljesül, és [1]

-et helyettesítve és a speciális esetet tekintve a Weierstraß-szorzategyenlőtlenséget kapjuk: [3],[4],[5]

Alkalmazások[szerkesztés]

Egy sorozat határértéke[szerkesztés]

Állítás:

minden valós számra.

Bizonyítás: Definiáljuk az sorozatot a következőképpen:

.

Ekkor a Bernoulli-egyenlőtlenség szerint

,

így

.

De

,

tehát

.

És végül

Exponenciális függvény[szerkesztés]

Egyszerűsége ellenére a Bernoulli-egyenlőtlenség sokszor hasznosnak bizonyul becslésekben. Legyen rögzítve egy . Ekkor minden -re. A Bernoulli-egyenlőtlenséggel

minden -re.

Mivel

azért beláttuk a

minden -re az

egyenlőtlenséget.

A számtani-mértani közép egyenlőtlensége[szerkesztés]

A Bernoulli-egyenlőtlenséget felhasználva teljes indukcióval:

Legyen az pozitív számok maximuma, és számtani közepe. Ekkor , és a Bernoulli-egyenlőtlenség folytán

.

Az indukciós feltétellel

,

ami éppen az, amit bizonyítani akartunk.

A bizonyítás megtalálható például Heuser könyvében (H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Kapitel 12.2.)

Jegyzetek[szerkesztés]

Forrás[szerkesztés]

Császár Ákos: Valós analízis ISBN 978-963-19-0113-9