Basu-tétel

A statisztikában a Basu-tétel azt állítja, hogy bármely komplett elégséges statisztika független bármely kiegészítő statisztikától.

Egy statisztika kiegészítő statisztika, ha az eloszlása nem függ θ-tól.

Ezt a tételt Debabrata Desu (indiai statisztikus) 1955-ben állította fel.

A tételt gyakran alkalmazzák két statisztika függetlenségének bizonyítására.

Állítás

Legyen P_θ egy eloszlás család az (X, Σ), mérhető térben. Akkor, ha T komplett elégséges statisztika θ-ra, és A kiegészítő statisztika θ-ra, akkor T független A-tól.

Bizonyítás

Legyen P_θ^T és P_θ^A T és A marginális eloszlásai.

$P_{\theta }^{A}(B)=P_{\theta }(A^{-1}B)=\int _{T(X)}P_{\theta }(A^{-1}B|T=t)\ P_{\theta }^{T}(dt)\,$

P_θ^T nem függ θ-tól, mert A kiegészítő. Hasonlóképpen P_θ(•|T = t) nem függ θ-tól, mert T elégséges. Ezért: $\int _{T(X)}{\big [}P(A^{-1}B|T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0\,$ Figyeljük meg az integranduszt ( függvény az integrálon belül), mely t függvénye, és nem θ-é. Ezért, mivel T komplett:

$P(A^{-1}B|T=t)=P^{A}(B)\quad {\text{minden t-re}}\,$

Így bizonyított, hogy A független T-től.

Példa

Normális eloszlású minta középértéke és szórásnégyzetének a függetlensége.

Legyenek X₁, X₂, ..., X_n független, azonos eloszlású normális valószínűségi változók μ középértékkel és σ² szórásnégyzettel. Ekkor:

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},\,$

a minta középértéke, mely egy komplett elégséges statisztika – azaz, minden információ megkapható a μ becsléséhez, és nem több, továbbá:

${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},\,$

a minta szórásnégyzete, mely egy kiegészítő statisztika – eloszlása nem függ μ-től. Így, a Basu-tételből következően, ezek a statisztikák függetlenek. A függetlenség a Cochran-tételből is levezethető. Továbbá, ez a tulajdonság, hogy a normális eloszlás középértéke és szórásnégyzete függetlenek, jellemzi a normális eloszlást – nincs más hasonló tulajdonságú eloszlás.

Irodalom

• Boos, Dennis D.; Oliver, Jacqueline M. Hughes: Applications of Basu's Theorem. (hely nélkül): The American Statistician (Boston: American Statistical Association) 52. 1998.  
• Ghosh, Malay: Basu's Theorem with Applications: A Personalistic Review. (hely nélkül): Sankhyā: the Indian Journal of Statistics, Series A 64. 2002.  

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Középérték
• Szórásnégyzet
• Normális eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Burr-eloszlás
• https://web.archive.org/web/20190815202442/http://math.bme.hu/~nandori/Virtual_lab/stat/point/Sufficient.xhtml
• http://www.inf.unideb.hu/valseg/dolgozok/igloi/2002eload2(Basu).pdf