Aritmetikai derivált
A matematikában, azon belül a számelméletben a Lagarias-féle aritmetikai derivált (vagy számderivált) az egész számokon értelmezett függvény. A prímtényezős felbontáson alapszik és a differeciálszámítás szorzatszabályával analóg módon viselkedik.
Az aritmetikai deriváltnak több változata létezik, beleértve az ebben a cikkben tárgyaltat (a Lagarias aritmetikai deriváltat) is. Másik fajtája például az Ihara-derivált és a Buium-derivált. Az aritmetikai derivált Josè Mingot Shelly spanyol matematikus vezette be 1911-ben.[1][2] A fogalom az 1950-es Putnam-versenyen is megjelent.[3]
Definíció[szerkesztés]
Jelölje az természetes szám aritmetikai deriváltját. (A szokásos deriválthoz hasonlóan itt is lehetségesek egyéb jelölések, például .) Ezt a következőképpen definiáljuk:
- bármilyen prímre .
- minden -re (Leibniz-szabály).
A természetes számokra adott definíciót Edward J. Barbeau terjesztette ki. Először is negatív számokra legyen . A kiterjesztést folytathatjuk a racionális számokra a hányadosszabály által:
Barbeau megmutatta, hogy ez jóldefiniált függvényt ad meg.[4] [5]
Victor Ufnarovski és Bo Åhlander kiterjesztette az aritmetikai deriváltat bizonyos irracionális számokra is. Ezekben az esetekben is a fenti képlet érvényes, de a prímek kitevői tetszőleges racionális számok lehetnek, lehetővé téve például a és hasonló kifejezések kiszámítását.[6]
Az aritmetikai derivált emellett definiálható bármely UFD-ben,[6] azaz például a Gauss-egészek és az Eisenstein-egészek gyűrűjében, illetve ezek hányadostesteiben. Ha az UFD egyben polinomgyűrű, akkor az aritmetikai derivált egybeesik a polinomgyűrűben a szokásos formális deriválttal.
Az aritmetikai derivált továbbá definiálható a moduló egészek gyűrűjében is.[7]
Elemi tulajdonságok[szerkesztés]
A Leibniz-szabály következménye, hogy () és ().
A hatványozási szabály a számderiváltra is érvényes: bármely x és n ≥ 0 egész szám esetén:
Ez lehetővé teszi a számderivált kiszámítását a prímtényezős felbontás alapján: ha , akkor
Például:
vagy
A k = 0, 1, 2, ... számok számderiváltjai a következők: (A003415 sorozat az OEIS-ben) :
Logaritmikus aritmetikai derivált[szerkesztés]
A hagyományos logaritmikus deriválttal analóg módon definiálható a logaritmikus aritmetikai derivált:
- .
Ez egy teljesen additív függvény, azaz .
Egyenlőtlenségek és korlátok[szerkesztés]
EJ Barbeau vizsgálta az aritmetikai derivált korlátait.[8]
és
Dahl, Olsson és Loiko megállapította, hogy[9]
Számelméleti jelentősége[szerkesztés]
Victor Ufnarovski és Bo Åhlander vizsgálták az aritmetikai derivált kapcsolatát fontos számelméleti sejtésekkel, például az ikerprím-sejtéssel és a Goldbach-sejtéssel. Megmutatták, hogy a Goldbach-sejtésből következne, hogy minden k > 1-re létezik olyan n, hogy D(n) = 2k. Az ikerprím-sejtésből pedig az következne, hogy végtelen sok olyan k szám létezik, amelyre D2(k) = 1.[6]
Jegyzetek[szerkesztés]
- ↑ Shelly (1911. április 2.). „Una cuestión de la teoria de los numeros”. Asociation Esp. Granada, 1-12. o.
- ↑ Lava, Paolo Pietro. La derivata aritmetica: Alla scoperta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri
- ↑ Scholes: 10th Putnam 1950
- ↑ Barbeau. „Remarks on an Arithmetic Derivative”. Canadian Mathematical Bulletin 4 (2), 117-122. o. DOI:10.4153/CMB-1961-013-0.
- ↑ Barbeau (1973. április 1.). „Problem”. Canad. Math. Congress Notes 5 (8), 6-7. o.
- ↑ a b c Ufnarovski (2003. április 2.). „How to Differentiate a Number”. Journal of Integer Sequences 6 (3).
- ↑ (2009. november 1.) „How to Differentiate an Integer Modulo n”. The College Mathematics Journal 40 (5), 345–353. o. DOI:10.4169/074683409X475661.
- ↑ Barbeau, E.J. (1961). Remarks on an arithmetic derivative. URL: https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/1FD7F09AD3972692FC97BB23A21D0BD8/S0008439500050773a.pdf/remarks_on_an_arithmetic_derivative.pdf
- ↑ Dahl, N., Olsson, J., Loiko, A. (2011). Investigations on the properties of the arithmetic derivative. On page 4. URL: https://arxiv.org/pdf/1108.4762.pdf
Fordítás[szerkesztés]
Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetic derivative című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.