Algebra (test felett)

Az absztrakt algebrában a test feletti algebra (vagy szimplán algebra) egy adott test feletti vektortér ellátva egy bilineáris szorzással. Pontosabban, az algebra olyan matematikai struktúra, amelyben egy halmaz van ellátva egy vektortér axiómáit teljesítő összeadás és egy adott test elemével (skalárral) vett szorzás műveletével, továbbá egy bilineáris szorzással. Attól függően, hogy a szorzás asszociatív-e, megkülönböztetünk asszociatív és nemasszociatív algebrákat.

Asszociatív algebrák példái közé tartoznak a polinomok, a kvaterniók a Hamilton-szorzattal ellátva és az $n\times n$-es mátrixok tere a mátrixszorzás műveletével ellátva. Nemasszociatív algebrák közé tartoznak az októniók, a vektoriális szorzattal ellátott háromdimenziós euklideszi tér és általánosságban a Lie-algebrák.

Definíció

Legyen $\mathbb {K}$ egy test, $A$ egy $\mathbb {K}$ feletti vektortér, $\cdot :A\times A\to A,(x,y)\mapsto x\cdot y$ pedig egy kétváltozós művelet. Amennyiben minden $x,y,z\in A$-ra és $\lambda \in \mathbb {K}$-ra a következők teljesülnek:

• $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ (jobb oldali disztributivitás)
• $z\cdot (x+y)=z\cdot x+z\cdot y$ (bal oldali disztributivitás)
• $(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y)=\lambda (x\cdot y)$ (kompatibilitás a skalárral való szorzással),

akkor $A$-t egy $\mathbb {K}$ feletti algebrának hívjuk. Az előbb sorolt három feltételt együttesen bilinearitásnak, a feltételek által definiált kétváltozós műveletet pedig szorzásnak nevezzük.

Amennyiben a szorzás kommutatív, akkor a bal és jobb disztributivitás feltétele ekvivalens.

A szorzást asszociatívnak nevezzük, amennyiben minden $x,y,z\in A$-ra teljesül $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$. Ebben az esetben asszociatív algebráról beszélünk, amelyet a matematika bizonyos területein vagy irodalmaiban gyakran szintúgy röviden algebrának hívnak.

Amennyiben létezik $A$-ban egy olyan $I$ elem, amelyre $xI=Ix=x$ teljesül minden $x\in A$-ra, akkor $I$-t egységelemnek, $A$-t pedig egységelemes algebrának hívjuk.

Példák

• Az $\mathbb {R}$ számtest felett asszociatív algebrának tekinthető a komplex számok vektortere a komplex számok összeszorzásával. Hasonlóan, a kvaterniók is asszociatív algebrát alkotnak. Az októniók esetén azonban a szorzás már nem asszociatív, így egy nemasszociatív algebrát alkotnak.
• A háromdimenziós euklideszi vektortér a vektoriális szorzat műveletével egy nemasszociatív algebrát alkot.
• A polinomok egy asszociatív és kommutatív algebrát alkotnak.
• Egy ${\mathcal {H}}$ Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátorok halmaza ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ asszociatív algebrát alkot a kompozíció műveletével. Amennyiben a Hilbert-tér dimenziója véges, ez az algebra az $n\times n$ mátrixok algebrája a mátrixszorzás műveletével. Bármely ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ teljes az operátornormában, tehát példája a Banach-algebráknak. Amennyiben ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ el van látva egy Hermite-transzponálás tulajdonságait hordozó involúcióval, akkor C*-algebrának hívjuk.
• A Lie- és Jordan-algebrák nem feltétlenül asszociatív algebrák.

Kapcsolódó fogalmak

Algebra-homomorfizmusok

Legyenek $A$ és $B$ algebrák $\mathbb {K}$ test felett. Algebra-homomorfizmusnak nevezünk egy olyan $f:A\to B$ $\mathbb {K}$-lineáris leképezést, amelyre $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$ teljesül bármely $x,y\in A$-ra. Amennyiben a leképezés bijektív, algebra-izomorfizmusnak hívjuk. Ha az algebrák egységelemesek, akkor bármely algebrahomomorfizmus közöttük egységelemet egységelembe visz, tehát $f(1_{A})=1_{B}$.

Részalgebrák és ideálok

Egy $A$ algebra részalgebrájának tekintjük azt a lineáris alterét, amelyben két elem szorzata szintén az altér eleme. Pontosabban, $L\subseteq A$ részalgebra, amennyiben bármely $x,y\in L$-re és $\lambda \in \mathbb {K}$-ra $x+y$, $\lambda x$ (ez a lineáris altér definíciója) és $x\cdot y$ is $L$ eleme. Példaképp, a komplex számok algebrájának a valós számok halmaza egy részalgebra, mivel minden valós számpár összege és szorzata valós.

Egy $\mathbb {K}$ feletti algebra balideáljának nevezzük azt a lineáris alterét, amelynek minden tagját az algebra bármely elemével balról szorozva az altér egy elemét kapjuk meg. Pontosabban, $L\subseteq A$ balideál, amennyiben $A$-nak lineáris altere és továbbá minden $x\in L$-re és $z\in A$-ra $z\cdot x\in L$ teljesül. Ha ehelyett egy altérben $x\cdot z\in L$ teljesül, akkor azt jobbideálnak hívjuk. Kétoldali ideálnak hívjuk $A$ azon részhalmazát, amely egyszerre bal- és jobbideál. A definícióból következik, hogy egy algebra bármely ideálja részalgebra is. Amennyiben $A$ egy kommutatív algebra, abban az esetben minden bal- és jobbideál kétoldali.

Fontos megjegyezni, hogy egy algebra ideáljának definíciója különbözik egy tetszőleges gyűrű ideáljáétól, ugyanis egy algebra ideálja lineáris altér, tehát a skalárral való szorzás műveletét tekintve zárt – ez nem szükséges egy gyűrű ideáljának definiálásához. Azonban, ha az algebra egységelemes, akkor a $\forall x\in L,z\in A:z\cdot x\in L$ feltételből következik $\forall \lambda \in \mathbb {K} ,x\in L:\lambda x\in L$.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Algebra over a field című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Michiel Hazewinkel; Nadiya Gubareni; Vladimir V. Kirichenko (2004). Algebras, rings and modules. Vol. 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.{{cite book}}: CS1 karbantartás: több név: szerzőfelsorolás (link)