Alexander Grothendieck

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Alexander Grothendieck
Alexander Grothendieck.jpg
Született 1928. március 28.[1][2][3][4][5]
Berlin
Elhunyt 2014. november 13. (86 évesen)[1][2][4][5]
Saint-Girons
Beceneve binguiman
Álneve Nicolas Bourbaki
Állampolgársága
SzüleiHanka Grothendieck
Sascha Schapiro
Foglalkozása
Iskolái
Kitüntetései
A Wikimédia Commons tartalmaz Alexander Grothendieck témájú médiaállományokat.

Alexander Grothendieck (németül ˈɡroːtn̩diːk, franciául ɡʁɔtɛndik) (Berlin, 1928. március 28.Saint-Lizier, 2014. november 13.) német származású francia matematikus, aki a modern algebrai geometria(wd) megalkotásának vezető alakjává vált. 1966-ban Fields-éremmel jutalmazták munkásságát.

Családja[szerkesztés]

Édesapja oroszországi zsidó, Alexander Shapiro(wd) volt, akit az 1905-ös orosz forradalomban betöltött szerepéért Szibériába száműzték, majd 1917-ben szabadult. Édesanyja Hanka Grothendieck(wd) német színésznő volt.[7]

Életrajz[szerkesztés]

Matematikai munkássága[szerkesztés]

Grothendieck kezdetben funkcionálanalízissel foglalkozott. 1949 és 1953 között Nancyban volt doktorandusz. Témavezetői Jean Dieudonné és Laurent Schwartz voltak. Néhány év alatt a topologikus vektorterek és a Schwartz-disztribúciók területének egyik vezető szakértőjévé vált. Sőt, a területre gyakorolt határást Dieudonné Banachéhoz hasonlította.[8]

Ugyanakkor Grothendieck később az algebrai geometria területén jelentősen nagyobb és fontosabb hatást fejtett ki, mint a funcionálanalízisben. Hozzávetőlegesen 1955-től kezdett foglalkozni kéveelmélettel és homologikus algebrával. Ezen munka eredménye a híres Tôhoku-cikk (Sur quelques points d'algèbre homologique, megjelent a Tohoku Mathematical Journalban 1957-ben), amelyben Grothendieck bevezette az Abel-kategória fogalmát, majd ezt alkalmazta annak bizonyítására, hogy a kévekohomológia definiálható bizonyos derivált funktorok formájában.[9]

A homologikus módszerek és a kéveelmélet már Grothendieck előtt is használatban voltak az algebrai geometriában, többek között Jean-Pierre Serre munkájának köszönhetően. Grothendieck ugyanakkor magasabb absztrakciós szintre emelte ezeket, és az munkájának vezérlő elvévé tette a használatukat. Az egyes konkrét varietások tanulmányozása helyett a hangsúlyt az úgynevezett relatív megközelítésre helyezte: ebben egyetlen varietás helyett egy két varietás közötti morfizmust vizsgált. Ez a megközelítés lehetővé tette számos klasszikus tétel messzemenő általánosítását.[10] A legelső jelentős alkalmazás Serre azon tételének relatív verziója volt, amely szerint egy teljes varietáson koherens kéve kohomológiája véges dimenziós: Grothendieck bebizonyította, hogy egy rendes (proper) morfizmusra nézve koherens kévék magasabb direkt képei koherensek. Egy egy pontból álló téren ez megfelel Serre tételének.

1956-ban ugyanezen gondolatmenetet alkalmazta a Riemann–Roch-tételre: ennek eredménye a Grothendieck–Riemann–Roch-tétel, amit Grothendieck 1957-ben egy bonni konferencián (Mathematische Arbeitstagung) jelentett be 1957-ben. A tétel nyomtatásban először Armand Borel és Serre egy cikkében jelent meg. Ezt követően Grothendieck kidolgozott – és később végre is hajtott – egy nagyszabású programot, amelynek célja az algebrai geometria új alapokra helyezése volt. A programot az 1958-as Nemzetközi Matematikuskongresszuson (ICM) jelentette be.

Ez a program minden korábbinál magasabb absztrakciót tett lehetővé az algebrai geometriában. Grothendieck bevezette a nem zárt generikus pontokat; ezek aztán a sémák fogalmához vezettek. Szintén úttörő szerepet játszott a nilpotens elemek használatában: függvényként ezek csak a zéró értéket vehetik fel, ugyanakkor képesek infinitezimális információt tisztán algebrai módon kezelni. A Grothendieck által bevezetett sémaelmélet ma az algebrai geometria alapját adja. Ennek erénye, hogy ezen keresztül az algebrai geometriában egységes módon használhatók rokon diszciplínák – biracionális geometria, számelmélet, Galois-elmélet, kommutatív algebra, algebrai topológia – módszerei.[9][11][12]

Grothendieck az absztrakt módszerek mesterének tekinthető; emellett híres volt a perfekcionizmusáról.[13] Az 1960 után végzett munkájának csak kis részét publikálta hagyományos csatornákon, azaz szakfolyóiratokon keresztül: ehelyett eredményei gyakran sokszorosított szemináriumi jegyzetek formájában terjedtek. Munkájának hatása kiterjedt az algebrai geometria határain túlra is, például a D-modulusok elméletre; ugyanakkor egyes konkrétabb (azaz kevésbé absztrakt) megközelítést preferáló matematikusokból negatív reakciókat váltott ki.[14][15]

Grothendieck alkotta meg az étale és az l-adikus kohomológiaelméleteket. Ezeken keresztül igazolható André Weil azon észrevétele, amely szerint kapcsolat áll fenn egy varietás topologikus és diofantikus (számelméleti) tulajdonságai között.[10] Ezen kapcsolat például abban jelenik meg, hogy egy egyenlet megoldásainak száma egy véges test felett összefügg a komplex számtest feletti megoldások topologikus tulajdonságaival. Weil felismerte, hogy ezen kapcsolat igazolásához egy új kohomológiaelméletre van szükség: ennek megkonstruálása Grothendieck előtt másnak nem sikerült.

A Grothendieck-féle program csúcspontjának tekinthető a Weil-sejtések bizonyítása: ezek közül az utolsót Grothendieck egyik tanítványa, Pierre Deligne bizonyította be az 1970-es évek elején. Ezt követően Grothendieck visszavonult a matematikai munkától.[9]

EGA, SGA, FGA[szerkesztés]

Grothendieck publikált munkáinak oroszlánrésze az Éléments de géométrie algébrique-ben (EGA) és a Séminaire de géométrie algébrique-ben (SGA) van összegyűjtve: ezek hatalmas terjedelmű, ugyanakkor nem lezárt vagy befejezett művek. Ezek mellett jelentős még a Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA), amik a Bourbaki-szeminárium előadásait gyűjtötte össze.[9]

Főbb hozzájárulások a matematikához[szerkesztés]

Grothendieck Récoltes et Semailles című retrospektív írásában matematikai munkájának tizenkét elemét emelte ki, amiket ő maga „nagyszerű ötleteknek” tartott.[16] Ezek időrendi sorrendben a következők:

  1. Topologikus tenzorszorzatok és nukleáris terek.
  2. Folytonos és diszkrét dualitások (derivált kategóriák, „hat operátor”).
  3. A Grothendieck–Riemann–Roch-tétel „jógája” (K-elmléet, kapcsolat a metszéselmélettel).
  4. Sémák.
  5. Toposzok.
  6. Étale kohomológia és l-adikus kohomológia.
  7. Motívumok és a motivikus Galois-csoport (Grothendieck-féle ⊗-kategóriák).
  8. Kristályok és kristálykohomológia, a de Rham-együtthatók „jógája”, Hodge-együtthatók
  9. Topologikus algebra: a toposzok kohomologikus formalizmusa mint inspiráció egy új homotopikus algebra megalkotásához.
  10. Szelíd topológia.
  11. Az anabelian algebrai geometria „jógája”, Galois–Teichmüller-elmélet.
  12. Sémaelméleti vagy számelméleti megközelítés szabályos poliéderekre és egyéb szabályos konfigurációkra.

A fenti felsorolásban a „jóga” szó egyfajta heurisztikus metaelméletet takar; Michel Raynaud szerint ezzel egyenértékű kifejezések „Ariadné fonala” valamint a „filozófia”.[17]

Grothendieck szerint a fenti témák közül a legnagyobb terjedelmű a toposzoké: ezek összekötik az algebrai geometriát, a topológiát és a számelméletet. Ezzel szemben az első és utolsó témát a többihez képest szerényebb kiterjedésűnek ítélte. Továbbá úgy vélte, hogy a fentiek közül a legmélyebb témák a motívumok, az anabelian geometria és a Galois–Teichmüller-elmélet.[18]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. a b Integrált katalógustár. (Hozzáférés: 2015. augusztus 13.)
  2. a b MacTutor History of Mathematics archive. (Hozzáférés: 2017. augusztus 22.)
  3. SNAC (angol nyelven). (Hozzáférés: 2017. október 9.)
  4. a b Encyclopædia Britannica (brit angol nyelven), 1768
  5. a b BnF források (francia nyelven)
  6. Andrew Bell: Encyclopædia Britannica (brit angol nyelven). Encyclopædia Britannica Inc., 1768
  7. Markó Ferkó: Meghalt Alexander Grothendieck (html). 444.hu. Magyar Jeti Zrt., 2014. november 14. (Hozzáférés: 2021. március 9.)
  8. (Dieudonné 1990)
  9. a b c d Jackson, Allyn (2004), "Comme Appelé du Néant – As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck I", Notices of the American Mathematical Society 51 (4), <http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf>
  10. a b Pragacz 2005.
  11. (Deligne 1998).
  12. Mclarty, Colin: The Rising Sea: Grothendieck on simplicity and generality I. (Hozzáférés: 2020. április 29.)
  13. Amir D. Aczel. The Artist and the Mathematician. Basic Books (2009. június 13.) 
  14. Peck, Morgen, Equality of Mathematicians, <http://scienceline.org/2007/01/math_controversy_peck/>
  15. Leith, Sam (20 March 2004), "The Einstein of maths", The Spectator, <http://www.spectator.co.uk/features/12036/the-einstein-of-maths/>
  16. Grothendieck 1986, 21. o.
  17. at p. 2.
  18. Grothendieck 1986, 22. o.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Alexander Grothendieck című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.