A holomorf függvények identitástétele

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A komplex analízisben a holomorf függvények identitástétele azt állítja, hogy ha f és g holomorf ugyanazon a D tartományon, továbbá f = g D egy nem üres nyílt részhalmazán, f = g teljes D-ben.

Sőt, az is igaz, hogy ha és holomorf, komplex szám egy környezetben, továbbá a halmaz torlódási pontja, akkor -nak van egy másik környezete, ahol minden pontban .

Ez egy erős állítás, ugyanis a részhalmaz kicsi is lehet a teljes D-hez viszonyítva. Ehhez nem elég, hogy a függvények valós értelemben differenciálhatók legyenek. Informálisan, a folytonos vagy valós értelemben differenciálható függvények lágyak, a holomorfak kemények.

Példák[szerkesztés]

A tétel állítása az első változatban nem teljesül, ha az alaphalmaz nem összefüggő. Ez könnyen belátható.

A második változatban lényeges, hogy a torlódási pont a környezet belsejében, és ne a szélén legyen:

Tekintjük a függvényt, ami holomorf a tartományon. A tartományban van a sorozat, ami a nullához tart. A nulla torlódási pontja is a sorozatnak, és , de az is teljesül, hogy . Azaz egyenlő nullával a pontokban, de nem a teljes pontozott síkon.

Következmények[szerkesztés]

Fontos következmény a valós függvények folytathatósága. Azaz, ha egy függvény kiterjeszthető holomorf módon a komplex számsíkra, akkor ez a kiterjesztés egyértelmű. Így például a valós szinuszfüggvény kiterjesztése a komplex szinuszfüggvény. Emellett erre is érvényesek az addíciós tételek, de a korlátosság nem, ahogy azt a Liouville-tétel mutatja.

Egy másik alkalmazásban : Ha tartomány, holomorf, és nullhelyeinek van torlódási pontja, akkor a teljes tartományon.

Ha tartomány, akkor az itt holomorf függvények nullosztómentes gyűrűt alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha , akkor vagy . Legyen holomorf, továbbá és . Ekkor van egy pont -ben, és ennek egy környezete, hogy minden esetén. Ekkor azonban a fenti speciális eset miatt .

Bizonyítás[szerkesztés]

A tétel élesíthető, mivel a tartományok összefüggők.

Állítás[szerkesztés]

Legyen tartomány, és ezen és holomorf függvények. A következők ekvivalensek:

  1. minden esetén.
  2. Az halmaznak torlódási pontja van -ben.
  3. Van egy , úgy, hogy minden esetén, azaz van egy pont, ahol a függvények és összes deriváltjaik egyeznek.

Bizonyítás[szerkesztés]

Először is feljegyezzük azt, hogy a holomorf függvények analitikusak, azaz a tartomány minden pontjának egy környezetében Taylor-sorba fejthetők.

A 2. azonnal következik az elsőből, hiszen a tartomány minden pontja torlódási pont.

A 3. indirekt bizonyítható a 2.-ból. Jelölje a 2.-ban jelzett halmaz torlódási pontját! Feltehető, hogy Feltesszük továbbá, hogy van , hogy . Legyen ezek közül a legkisebb! Ekkor nulla egy környezetében , hogy és nullhelyeinek halmaza éppen az a halmaz, ahol a két függvény egybeesik, mivel folytonos. Továbbá ellentmond minimális voltának.

Az 1. következik a 3.-ból. Ennek belátásához hivatkozunk a tartomány összefüggőségére. Elég azt megmutatni, hogy nem üres, zárt és nyílt -ben. Az első következik az előfeltevésből. A második látható abból, hogy , ahol a zárt halmaz folytonos ősképeként zárt kell, hogy legyen, és zárt halmazok metszete zárt. Végül nyílt, hiszen ha , akkor analitikus függvény, egy környezetében előáll Taylor-sorából, ami azonosan nulla. Ezek a környezetek részei -nak.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Identitätssatz für holomorphe Funktionen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.